Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpathpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpathpr 41408
 Description: A graph with an Eulerian path has either zero or two vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
eulerpathpr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
eulerpathpr ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑃   𝑥,𝑉

Proof of Theorem eulerpathpr
StepHypRef Expression
1 eulerpathpr.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2610 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3 simpl 472 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐺 ∈ UPGraph )
4 upgruhgr 25768 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph )
52uhgrfun 25732 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ UPGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
76adantr 480 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → Fun (iEdg‘𝐺))
8 simpr 476 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
91, 2, 3, 7, 8eupth2 41407 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(#‘𝐹))}))
109fveq2d 6107 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) = (#‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(#‘𝐹))})))
11 fveq2 6103 . . . 4 (∅ = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(#‘𝐹))}) → (#‘∅) = (#‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(#‘𝐹))})))
1211eleq1d 2672 . . 3 (∅ = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(#‘𝐹))}) → ((#‘∅) ∈ {0, 2} ↔ (#‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(#‘𝐹))})) ∈ {0, 2}))
13 fveq2 6103 . . . 4 ({(𝑃‘0), (𝑃‘(#‘𝐹))} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(#‘𝐹))}) → (#‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(#‘𝐹))}) = (#‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(#‘𝐹))})))
1413eleq1d 2672 . . 3 ({(𝑃‘0), (𝑃‘(#‘𝐹))} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(#‘𝐹))}) → ((#‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(#‘𝐹))}) ∈ {0, 2} ↔ (#‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(#‘𝐹))})) ∈ {0, 2}))
15 hash0 13019 . . . . 5 (#‘∅) = 0
16 c0ex 9913 . . . . . 6 0 ∈ V
1716prid1 4241 . . . . 5 0 ∈ {0, 2}
1815, 17eqeltri 2684 . . . 4 (#‘∅) ∈ {0, 2}
1918a1i 11 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (#‘∅) ∈ {0, 2})
20 simpr 476 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
2120neqned 2789 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))
22 fvex 6113 . . . . . 6 (𝑃‘0) ∈ V
23 fvex 6113 . . . . . 6 (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ V
24 hashprg 13043 . . . . . 6 (((𝑃‘0) ∈ V ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ V) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) ↔ (#‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(#‘𝐹))}) = 2))
2522, 23, 24mp2an 704 . . . . 5 ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) ↔ (#‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(#‘𝐹))}) = 2)
2621, 25sylib 207 . . . 4 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (#‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(#‘𝐹))}) = 2)
27 2ex 10969 . . . . 5 2 ∈ V
2827prid2 4242 . . . 4 2 ∈ {0, 2}
2926, 28syl6eqel 2696 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (#‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(#‘𝐹))}) ∈ {0, 2})
3012, 14, 19, 29ifbothda 4073 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → (#‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(#‘𝐹))})) ∈ {0, 2})
3110, 30eqeltrd 2688 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃) → (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173  ∅c0 3874  ifcif 4036  {cpr 4127   class class class wbr 4583  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  0cc0 9815  2c2 10947  #chash 12979   ∥ cdvds 14821  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674   UHGraph cuhgr 25722   UPGraph cupgr 25747  VtxDegcvtxdg 40681  EulerPathsceupth 41364 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-vtx 25675  df-iedg 25676  df-uhgr 25724  df-ushgr 25725  df-upgr 25749  df-edga 25793  df-uspgr 40380  df-vtxdg 40682  df-1wlks 40800  df-wlks 40801  df-trls 40901  df-eupth 41365 This theorem is referenced by:  eulerpath  41409
 Copyright terms: Public domain W3C validator