MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash0 Structured version   Unicode version

Theorem hash0 12392
Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hash0  |-  ( # `  (/) )  =  0

Proof of Theorem hash0
StepHypRef Expression
1 eqid 2460 . 2  |-  (/)  =  (/)
2 0ex 4570 . . 3  |-  (/)  e.  _V
3 hasheq0 12388 . . 3  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( ( # `
 (/) )  =  0  <->  (/)  =  (/) ) )
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( (
# `  (/) )  =  0  <->  (/)  =  (/) )
51, 4mpbir 209 1  |-  ( # `  (/) )  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106   (/)c0 3778   ` cfv 5579   0cc0 9481   #chash 12360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-hash 12361
This theorem is referenced by:  hashrabrsn  12395  hashrabsn01  12396  hashrabsn1  12397  hashge0  12410  elprchashprn2  12416  hashle00  12418  hash1  12422  hashsnlei  12430  hashgt12el  12433  hashgt12el2  12434  hashfzo  12439  hashxplem  12444  hashmap  12446  hashbc  12455  hashf1lem2  12458  hashf1  12459  hash2pwpr  12472  lsw0g  12539  ccatlid  12555  ccatrid  12556  lswccat0lsw  12559  s1nz  12568  rev0  12688  repswsymballbi  12702  fsumconst  13554  incexclem  13600  incexc  13601  prmreclem4  14285  prmreclem5  14286  0hashbc  14373  ramz2  14390  cshws0  14433  psgnunilem2  16309  psgnunilem4  16311  psgn0fv0  16325  psgnsn  16334  psgnprfval1  16336  efginvrel2  16534  efgredleme  16550  efgcpbllemb  16562  frgpnabllem1  16661  gsumconst  16738  ltbwe  17901  fta1g  22296  fta1  22431  birthdaylem3  23004  ppi1  23159  musum  23188  rpvmasum  23432  usgraedgprv  24038  usgra1v  24052  usgrafisindb0  24070  usgrafisindb1  24071  0wlk  24209  0trl  24210  0wlkon  24211  0pth  24234  0crct  24288  0cycl  24289  0clwlk  24427  vdgr0  24562  vdgr1b  24566  vdgr1a  24568  vdusgraval  24569  rusgranumwlkl1  24609  rusgra0edg  24617  eupath  24643  esumcst  27697  cntmeas  27823  ballotlemfval0  28060  signsvtn0  28153  signstfvneq0  28155  signstfveq0  28160  signsvf0  28163  derangsn  28240  subfacp1lem6  28255  fprodconst  28671  hashgcdeq  30752  fzisoeu  31032
  Copyright terms: Public domain W3C validator