MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash0 Structured version   Unicode version

Theorem hash0 12138
Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hash0  |-  ( # `  (/) )  =  0

Proof of Theorem hash0
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . 2  |-  (/)  =  (/)
2 0ex 4425 . . 3  |-  (/)  e.  _V
3 hasheq0 12134 . . 3  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( ( # `
 (/) )  =  0  <->  (/)  =  (/) ) )
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( (
# `  (/) )  =  0  <->  (/)  =  (/) )
51, 4mpbir 209 1  |-  ( # `  (/) )  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2975   (/)c0 3640   ` cfv 5421   0cc0 9285   #chash 12106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-card 8112  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-nn 10326  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-fz 11441  df-hash 12107
This theorem is referenced by:  hashrabrsn  12140  hashge0  12153  elprchashprn2  12159  hashle00  12161  hash1  12165  hashsnlei  12173  hashgt12el  12176  hashgt12el2  12177  hash2pwpr  12185  hashfzo  12193  hashxplem  12198  hashmap  12200  hashbc  12209  hashf1lem2  12212  hashf1  12213  lsw0g  12271  ccatlid  12287  ccatrid  12288  lswccat0lsw  12291  s1nz  12300  rev0  12407  repswsymballbi  12421  fsumconst  13260  incexclem  13302  incexc  13303  prmreclem4  13983  prmreclem5  13984  0hashbc  14071  ramz2  14088  cshws0  14131  psgnunilem2  16004  psgnunilem4  16006  psgn0fv0  16020  psgnprfval1  16029  efginvrel2  16227  efgredleme  16243  efgcpbllemb  16255  frgpnabllem1  16354  gsumconst  16430  ltbwe  17557  fta1g  21642  fta1  21777  birthdaylem3  22350  ppi1  22505  musum  22534  rpvmasum  22778  usgraedgprv  23298  usgra1v  23311  usgrafisindb0  23324  usgrafisindb1  23325  0wlk  23447  0trl  23448  0wlkon  23449  0pth  23472  0crct  23515  0cycl  23516  vdgr0  23573  vdgr1b  23577  vdgr1a  23579  vdusgraval  23580  eupath  23605  esumcst  26517  cntmeas  26643  ballotlemfval0  26881  signsvtn0  26974  signstfvneq0  26976  signstfveq0  26981  signsvf0  26984  derangsn  27061  subfacp1lem6  27076  fprodconst  27492  hashgcdeq  29569  hashrabsn01  30235  hashrabsn1  30236  0clwlk  30431  rusgranumwlkl1  30562  rusgra0edg  30576  psgnsn  30774
  Copyright terms: Public domain W3C validator