MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash0 Structured version   Unicode version

Theorem hash0 12545
Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hash0  |-  ( # `  (/) )  =  0

Proof of Theorem hash0
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . 2  |-  (/)  =  (/)
2 0ex 4557 . . 3  |-  (/)  e.  _V
3 hasheq0 12541 . . 3  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( ( # `
 (/) )  =  0  <->  (/)  =  (/) ) )
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( (
# `  (/) )  =  0  <->  (/)  =  (/) )
51, 4mpbir 212 1  |-  ( # `  (/) )  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087   (/)c0 3767   ` cfv 5601   0cc0 9538   #chash 12512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-hash 12513
This theorem is referenced by:  hashrabrsn  12548  hashrabsn01  12549  hashrabsn1  12550  hashge0  12563  elprchashprn2  12570  hashle00  12574  hash1  12578  hashsnlei  12587  hashgt12el  12590  hashgt12el2  12591  hashfzo  12596  hashxplem  12600  hashmap  12602  hashbc  12611  hashf1lem2  12614  hashf1  12615  hash2pwpr  12628  lsw0g  12700  ccatlid  12717  ccatrid  12718  s1nz  12732  rev0  12854  repswsymballbi  12868  fsumconst  13829  incexclem  13872  incexc  13873  fprodconst  14010  prmreclem4  14826  prmreclem5  14827  0hashbc  14922  ramz2  14945  cshws0  15035  psgnunilem2  17087  psgnunilem4  17089  psgn0fv0  17103  psgnsn  17112  psgnprfval1  17114  efginvrel2  17312  efgredleme  17328  efgcpbllemb  17340  frgpnabllem1  17444  gsumconst  17502  ltbwe  18631  fta1g  22993  fta1  23129  birthdaylem3  23744  ppi1  23954  musum  23983  rpvmasum  24227  usgraedgprv  24949  usgra1v  24963  usgrafisindb0  24981  usgrafisindb1  24982  0wlk  25120  0trl  25121  0wlkon  25122  0pth  25145  0crct  25199  0cycl  25200  0clwlk  25338  vdgr0  25473  vdgr1b  25477  vdgr1a  25479  vdusgraval  25480  rusgranumwlkl1  25520  rusgra0edg  25528  eupath  25554  f1ocnt  28212  esumcst  28723  cntmeas  28887  ballotlemfval0  29154  signsvtn0  29247  signstfvneq0  29249  signstfveq0  29254  signsvf0  29257  derangsn  29681  subfacp1lem6  29696  poimirlem25  31668  poimirlem26  31669  poimirlem27  31670  poimirlem28  31671  hashgcdeq  35773  rp-isfinite6  35861  fzisoeu  37126
  Copyright terms: Public domain W3C validator