MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash0 Structured version   Unicode version

Theorem hash0 12423
Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hash0  |-  ( # `  (/) )  =  0

Proof of Theorem hash0
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . 2  |-  (/)  =  (/)
2 0ex 4569 . . 3  |-  (/)  e.  _V
3 hasheq0 12419 . . 3  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( ( # `
 (/) )  =  0  <->  (/)  =  (/) ) )
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( (
# `  (/) )  =  0  <->  (/)  =  (/) )
51, 4mpbir 209 1  |-  ( # `  (/) )  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   (/)c0 3783   ` cfv 5570   0cc0 9481   #chash 12390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-hash 12391
This theorem is referenced by:  hashrabrsn  12426  hashrabsn01  12427  hashrabsn1  12428  hashge0  12441  elprchashprn2  12448  hashle00  12452  hash1  12456  hashsnlei  12465  hashgt12el  12468  hashgt12el2  12469  hashfzo  12474  hashxplem  12478  hashmap  12480  hashbc  12489  hashf1lem2  12492  hashf1  12493  hash2pwpr  12506  lsw0g  12578  ccatlid  12595  ccatrid  12596  s1nz  12610  rev0  12732  repswsymballbi  12746  fsumconst  13690  incexclem  13733  incexc  13734  fprodconst  13867  prmreclem4  14524  prmreclem5  14525  0hashbc  14612  ramz2  14629  cshws0  14673  psgnunilem2  16722  psgnunilem4  16724  psgn0fv0  16738  psgnsn  16747  psgnprfval1  16749  efginvrel2  16947  efgredleme  16963  efgcpbllemb  16975  frgpnabllem1  17079  gsumconst  17155  ltbwe  18335  fta1g  22737  fta1  22873  birthdaylem3  23484  ppi1  23639  musum  23668  rpvmasum  23912  usgraedgprv  24581  usgra1v  24595  usgrafisindb0  24613  usgrafisindb1  24614  0wlk  24752  0trl  24753  0wlkon  24754  0pth  24777  0crct  24831  0cycl  24832  0clwlk  24970  vdgr0  25105  vdgr1b  25109  vdgr1a  25111  vdusgraval  25112  rusgranumwlkl1  25152  rusgra0edg  25160  eupath  25186  esumcst  28295  cntmeas  28437  ballotlemfval0  28701  signsvtn0  28794  signstfvneq0  28796  signstfveq0  28801  signsvf0  28804  derangsn  28881  subfacp1lem6  28896  hashgcdeq  31402  fzisoeu  31742  rp-isfinite6  38176
  Copyright terms: Public domain W3C validator