MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash0 Structured version   Unicode version

Theorem hash0 12419
Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hash0  |-  ( # `  (/) )  =  0

Proof of Theorem hash0
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . 2  |-  (/)  =  (/)
2 0ex 4567 . . 3  |-  (/)  e.  _V
3 hasheq0 12415 . . 3  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( ( # `
 (/) )  =  0  <->  (/)  =  (/) ) )
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( (
# `  (/) )  =  0  <->  (/)  =  (/) )
51, 4mpbir 209 1  |-  ( # `  (/) )  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095   (/)c0 3770   ` cfv 5578   0cc0 9495   #chash 12387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-hash 12388
This theorem is referenced by:  hashrabrsn  12422  hashrabsn01  12423  hashrabsn1  12424  hashge0  12437  elprchashprn2  12443  hashle00  12447  hash1  12451  hashsnlei  12460  hashgt12el  12463  hashgt12el2  12464  hashfzo  12469  hashxplem  12473  hashmap  12475  hashbc  12484  hashf1lem2  12487  hashf1  12488  hash2pwpr  12501  lsw0g  12569  ccatlid  12585  ccatrid  12586  lswccat0lsw  12590  s1nz  12600  rev0  12720  repswsymballbi  12734  fsumconst  13587  incexclem  13630  incexc  13631  fprodconst  13764  prmreclem4  14419  prmreclem5  14420  0hashbc  14507  ramz2  14524  cshws0  14568  psgnunilem2  16499  psgnunilem4  16501  psgn0fv0  16515  psgnsn  16524  psgnprfval1  16526  efginvrel2  16724  efgredleme  16740  efgcpbllemb  16752  frgpnabllem1  16856  gsumconst  16933  ltbwe  18116  fta1g  22546  fta1  22682  birthdaylem3  23261  ppi1  23416  musum  23445  rpvmasum  23689  usgraedgprv  24354  usgra1v  24368  usgrafisindb0  24386  usgrafisindb1  24387  0wlk  24525  0trl  24526  0wlkon  24527  0pth  24550  0crct  24604  0cycl  24605  0clwlk  24743  vdgr0  24878  vdgr1b  24882  vdgr1a  24884  vdusgraval  24885  rusgranumwlkl1  24925  rusgra0edg  24933  eupath  24959  esumcst  28049  cntmeas  28175  ballotlemfval0  28412  signsvtn0  28505  signstfvneq0  28507  signstfveq0  28512  signsvf0  28515  derangsn  28592  subfacp1lem6  28607  hashgcdeq  31134  fzisoeu  31454  rp-isfinite6  37582
  Copyright terms: Public domain W3C validator