MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash0 Structured version   Unicode version

Theorem hash0 12131
Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hash0  |-  ( # `  (/) )  =  0

Proof of Theorem hash0
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . 2  |-  (/)  =  (/)
2 0ex 4419 . . 3  |-  (/)  e.  _V
3 hasheq0 12127 . . 3  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( ( # `
 (/) )  =  0  <->  (/)  =  (/) ) )
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( (
# `  (/) )  =  0  <->  (/)  =  (/) )
51, 4mpbir 209 1  |-  ( # `  (/) )  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970   (/)c0 3634   ` cfv 5415   0cc0 9278   #chash 12099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-hash 12100
This theorem is referenced by:  hashrabrsn  12133  hashge0  12146  elprchashprn2  12152  hashle00  12154  hash1  12158  hashsnlei  12166  hashgt12el  12169  hashgt12el2  12170  hash2pwpr  12178  hashfzo  12186  hashxplem  12191  hashmap  12193  hashbc  12202  hashf1lem2  12205  hashf1  12206  lsw0g  12264  ccatlid  12280  ccatrid  12281  lswccat0lsw  12284  s1nz  12293  rev0  12400  repswsymballbi  12414  fsumconst  13253  incexclem  13295  incexc  13296  prmreclem4  13976  prmreclem5  13977  0hashbc  14064  ramz2  14081  cshws0  14124  psgnunilem2  15994  psgnunilem4  15996  psgn0fv0  16010  psgnprfval1  16019  efginvrel2  16217  efgredleme  16233  efgcpbllemb  16245  frgpnabllem1  16344  gsumconst  16419  ltbwe  17530  fta1g  21598  fta1  21733  birthdaylem3  22306  ppi1  22461  musum  22490  rpvmasum  22734  usgraedgprv  23230  usgra1v  23243  usgrafisindb0  23256  usgrafisindb1  23257  0wlk  23379  0trl  23380  0wlkon  23381  0pth  23404  0crct  23447  0cycl  23448  vdgr0  23505  vdgr1b  23509  vdgr1a  23511  vdusgraval  23512  eupath  23537  esumcst  26450  cntmeas  26576  ballotlemfval0  26808  signsvtn0  26901  signstfvneq0  26903  signstfveq0  26908  signsvf0  26911  derangsn  26988  subfacp1lem6  27003  fprodconst  27418  hashgcdeq  29491  hashrabsn01  30157  hashrabsn1  30158  0clwlk  30353  rusgranumwlkl1  30484  rusgra0edg  30498  psgnsn  30688
  Copyright terms: Public domain W3C validator