Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0pth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0pth 26100
 Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a path if and only if the second set contains exactly one vertex (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
0pth (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ 𝑃𝑍) → (∅(𝑉 Paths 𝐸)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Proof of Theorem 0pth
StepHypRef Expression
1 0ex 4718 . . 3 ∅ ∈ V
2 ispth 26098 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (∅ ∈ V ∧ 𝑃𝑍)) → (∅(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ↔ (∅(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘∅)))) = ∅)))
31, 2mpanr1 715 . 2 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ 𝑃𝑍) → (∅(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ↔ (∅(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘∅)))) = ∅)))
4 3anass 1035 . . . 4 ((∅(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘∅)))) = ∅) ↔ (∅(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ (Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘∅)))) = ∅)))
54a1i 11 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ 𝑃𝑍) → ((∅(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘∅)))) = ∅) ↔ (∅(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ (Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘∅)))) = ∅))))
6 funcnv0 5869 . . . . . 6 Fun
7 hash0 13019 . . . . . . . . . . . 12 (#‘∅) = 0
8 0le1 10430 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 1
97, 8eqbrtri 4604 . . . . . . . . . . 11 (#‘∅) ≤ 1
10 1z 11284 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
11 0z 11265 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℤ
127, 11eqeltri 2684 . . . . . . . . . . . 12 (#‘∅) ∈ ℤ
13 fzon 12358 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘∅) ∈ ℤ) → ((#‘∅) ≤ 1 ↔ (1..^(#‘∅)) = ∅))
1410, 12, 13mp2an 704 . . . . . . . . . . 11 ((#‘∅) ≤ 1 ↔ (1..^(#‘∅)) = ∅)
159, 14mpbi 219 . . . . . . . . . 10 (1..^(#‘∅)) = ∅
1615reseq2i 5314 . . . . . . . . 9 (𝑃 ↾ (1..^(#‘∅))) = (𝑃 ↾ ∅)
17 res0 5321 . . . . . . . . 9 (𝑃 ↾ ∅) = ∅
1816, 17eqtri 2632 . . . . . . . 8 (𝑃 ↾ (1..^(#‘∅))) = ∅
1918cnveqi 5219 . . . . . . 7 (𝑃 ↾ (1..^(#‘∅))) =
2019funeqi 5824 . . . . . 6 (Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘∅))) ↔ Fun ∅)
216, 20mpbir 220 . . . . 5 Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘∅)))
2215imaeq2i 5383 . . . . . . . 8 (𝑃 “ (1..^(#‘∅))) = (𝑃 “ ∅)
23 ima0 5400 . . . . . . . 8 (𝑃 “ ∅) = ∅
2422, 23eqtri 2632 . . . . . . 7 (𝑃 “ (1..^(#‘∅))) = ∅
2524ineq2i 3773 . . . . . 6 ((𝑃 “ {0, (#‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘∅)))) = ((𝑃 “ {0, (#‘∅)}) ∩ ∅)
26 in0 3920 . . . . . 6 ((𝑃 “ {0, (#‘∅)}) ∩ ∅) = ∅
2725, 26eqtri 2632 . . . . 5 ((𝑃 “ {0, (#‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘∅)))) = ∅
2821, 27pm3.2i 470 . . . 4 (Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘∅)))) = ∅)
2928biantru 525 . . 3 (∅(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ↔ (∅(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ (Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘∅)))) = ∅)))
305, 29syl6bbr 277 . 2 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ 𝑃𝑍) → ((∅(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘∅))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘∅)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘∅)))) = ∅) ↔ ∅(𝑉 Trails 𝐸)𝑃))
31 0trl 26076 . 2 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ 𝑃𝑍) → (∅(𝑉 Trails 𝐸)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))
323, 30, 313bitrd 293 1 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ 𝑃𝑍) → (∅(𝑉 Paths 𝐸)𝑃𝑃:(0...0)⟶𝑉))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ◡ccnv 5037   ↾ cres 5040   “ cima 5041  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   ≤ cle 9954  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979   Trails ctrail 26027   Paths cpath 26028 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-wlk 26036  df-trail 26037  df-pth 26038 This theorem is referenced by:  0pthon  26109  0cycl  26155
 Copyright terms: Public domain W3C validator