Theorem ccatlid 13222

Description: Concatenation of a word by the empty word on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ccatlid	⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) = 𝑆)

Proof of Theorem ccatlid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrd0 13185	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Word 𝐵
2		ccatvalfn 13218	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝐵) → (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^((#‘∅) + (#‘𝑆))))
3	1, 2	mpan 702	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^((#‘∅) + (#‘𝑆))))
4		hash0 13019	. . . . . . . 8 ⊢ (#‘∅) = 0
5	4	oveq1i 6559	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘∅) + (#‘𝑆)) = (0 + (#‘𝑆))
6		lencl 13179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
7	6	nn0cnd 11230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑆) ∈ ℂ)
8	7	addid2d 10116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (0 + (#‘𝑆)) = (#‘𝑆))
9	5, 8	syl5eq 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → ((#‘∅) + (#‘𝑆)) = (#‘𝑆))
10	9	eqcomd 2616	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑆) = ((#‘∅) + (#‘𝑆)))
11	10	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (0..^(#‘𝑆)) = (0..^((#‘∅) + (#‘𝑆))))
12	11	fneq2d 5896	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → ((∅ ++ 𝑆) Fn (0..^(#‘𝑆)) ↔ (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^((#‘∅) + (#‘𝑆)))))
13	3, 12	mpbird 246	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^(#‘𝑆)))
14		wrdfn 13174	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → 𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)))
15	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (#‘∅) = 0)
16	15, 9	oveq12d 6567	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → ((#‘∅)..^((#‘∅) + (#‘𝑆))) = (0..^(#‘𝑆)))
17	16	eleq2d 2673	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑥 ∈ ((#‘∅)..^((#‘∅) + (#‘𝑆))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))))
18	17	biimpar 501	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ((#‘∅)..^((#‘∅) + (#‘𝑆))))
19		ccatval2 13215	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ((#‘∅)..^((#‘∅) + (#‘𝑆)))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑥 − (#‘∅))))
20	1, 19	mp3an1 1403	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ((#‘∅)..^((#‘∅) + (#‘𝑆)))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑥 − (#‘∅))))
21	18, 20	syldan 486	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑥 − (#‘∅))))
22	4	oveq2i 6560	. . . . 5 ⊢ (𝑥 − (#‘∅)) = (𝑥 − 0)
23		elfzoelz 12339	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)) → 𝑥 ∈ ℤ)
24	23	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ℤ)
25	24	zcnd 11359	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ℂ)
26	25	subid1d 10260	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
27	22, 26	syl5eq 2656	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑥 − (#‘∅)) = 𝑥)
28	27	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑆‘(𝑥 − (#‘∅))) = (𝑆‘𝑥))
29	21, 28	eqtrd 2644	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
30	13, 14, 29	eqfnfvd 6222	1 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∅c0 3874   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815   + caddc 9818   − cmin 10145  ℤcz 11254  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156

This theorem is referenced by:  swrdccat  13344  swrdccat3a  13345  s0s1  13517  gsumccat  17201  frmdmnd  17219  frmd0  17220  efginvrel2  17963  efgcpbl2  17993  frgp0  17996  frgpnabllem1  18099  signstfvneq0  29975  elmrsubrn  30671