Proof of Theorem swrdccat
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | swrdccatin12.l |
. . . . 5
⊢ 𝐿 = (#‘𝐴) |
2 | 1 | swrdccat3 13343 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr 〈𝑀, 𝑁〉) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉), ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) ++ (𝐵 substr 〈0, (𝑁 − 𝐿)〉)))))) |
3 | 2 | imp 444 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr 〈𝑀, 𝑁〉) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉), ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) ++ (𝐵 substr 〈0, (𝑁 − 𝐿)〉))))) |
4 | | lencl 13179 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐴) ∈
ℕ0) |
5 | 4 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (#‘𝐴) ∈
ℕ0) |
6 | 1 | eqcomi 2619 |
. . . . . . 7
⊢
(#‘𝐴) = 𝐿 |
7 | 6 | eleq1i 2679 |
. . . . . 6
⊢
((#‘𝐴) ∈
ℕ0 ↔ 𝐿 ∈
ℕ0) |
8 | | elfz2nn0 12300 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ≤ 𝑁)) |
9 | | iftrue 4042 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑁 ≤ 𝐿 → if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝑁) |
10 | 9 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝑁) |
11 | 10 | opeq2d 4347 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉 = 〈𝑀, 𝑁〉) |
12 | 11 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) = (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) |
13 | | iftrue 4042 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (0 ≤
(𝑀 − 𝐿) → if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0) = (𝑀 − 𝐿)) |
14 | 13 | opeq1d 4346 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (0 ≤
(𝑀 − 𝐿) → 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉 = 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉) |
15 | 14 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (0 ≤
(𝑀 − 𝐿) → (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉) = (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉)) |
16 | 15 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((0 ≤
(𝑀 − 𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉) = (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉)) |
17 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐵 ∈ Word 𝑉) |
18 | | nn0z 11277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝐿 ∈ ℕ0
→ 𝐿 ∈
ℤ) |
19 | | nn0z 11277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ 𝑀 ∈
ℤ) |
20 | 19 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ) |
21 | | zsubcl 11296 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ) |
22 | 20, 21 | sylan 487 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ) |
23 | | nn0z 11277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ∈
ℤ) |
24 | 23 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ) |
25 | | zsubcl 11296 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ) |
26 | 24, 25 | sylan 487 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ) |
27 | 22, 26 | jca 553 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)) |
28 | 18, 27 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)) |
29 | 17, 28 | anim12i 588 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ ((𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ))) |
30 | | 3anass 1035 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ) ↔ (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ ((𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ))) |
31 | 29, 30 | sylibr 223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)) |
32 | 31 | ad2antrl 760 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((0 ≤
(𝑀 − 𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)) |
33 | | nn0re 11178 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ 𝑀 ∈
ℝ) |
34 | | nn0re 11178 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ∈
ℝ) |
35 | 33, 34 | anim12i 588 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) |
36 | | nn0re 11178 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝐿 ∈ ℕ0
→ 𝐿 ∈
ℝ) |
37 | | subge0 10420 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤
(𝑀 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑀)) |
38 | 37 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤
(𝑀 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑀)) |
39 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈
ℝ) |
40 | 39 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈
ℝ) |
41 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈
ℝ) |
42 | | simpl 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈
ℝ) |
43 | 42 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈
ℝ) |
44 | 40, 41, 43 | 3jca 1235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈
ℝ)) |
45 | | letr 10010 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → 𝑁 ≤ 𝑀)) |
46 | 44, 45 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → 𝑁 ≤ 𝑀)) |
47 | 46 | expcomd 453 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐿 ≤ 𝑀 → (𝑁 ≤ 𝐿 → 𝑁 ≤ 𝑀))) |
48 | 38, 47 | sylbid 229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤
(𝑀 − 𝐿) → (𝑁 ≤ 𝐿 → 𝑁 ≤ 𝑀))) |
49 | 48 | com23 84 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ 𝐿 → (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) → 𝑁 ≤ 𝑀))) |
50 | 35, 36, 49 | syl2an 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝐿 → (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) → 𝑁 ≤ 𝑀))) |
51 | 50 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → (𝑁 ≤ 𝐿 → (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) → 𝑁 ≤ 𝑀))) |
52 | 51 | imp 444 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) → 𝑁 ≤ 𝑀)) |
53 | 52 | impcom 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((0 ≤
(𝑀 − 𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → 𝑁 ≤ 𝑀) |
54 | 34 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ) |
55 | 54 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈
ℝ) |
56 | 33 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ) |
57 | 56 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈
ℝ) |
58 | 36 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈
ℝ) |
59 | 55, 57, 58 | 3jca 1235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈
ℝ)) |
60 | 59 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ)) |
61 | 60 | ad2antrl 760 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((0 ≤
(𝑀 − 𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ)) |
62 | | lesub1 10401 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 − 𝐿) ≤ (𝑀 − 𝐿))) |
63 | 61, 62 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((0 ≤
(𝑀 − 𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 − 𝐿) ≤ (𝑀 − 𝐿))) |
64 | 53, 63 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((0 ≤
(𝑀 − 𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (𝑀 − 𝐿)) |
65 | | swrdlend 13283 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐿) ≤ (𝑀 − 𝐿) → (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉) = ∅)) |
66 | 32, 64, 65 | sylc 63 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((0 ≤
(𝑀 − 𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉) = ∅) |
67 | 16, 66 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((0 ≤
(𝑀 − 𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉) = ∅) |
68 | | iffalse 4045 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (¬ 0
≤ (𝑀 − 𝐿) → if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0) = 0) |
69 | 68 | opeq1d 4346 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (¬ 0
≤ (𝑀 − 𝐿) → 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉 = 〈0, (𝑁 − 𝐿)〉) |
70 | 69 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (¬ 0
≤ (𝑀 − 𝐿) → (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉) = (𝐵 substr 〈0, (𝑁 − 𝐿)〉)) |
71 | 17 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → 𝐵 ∈ Word 𝑉) |
72 | 71 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → 𝐵 ∈ Word 𝑉) |
73 | | 0zd 11266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → 0 ∈ ℤ) |
74 | 24, 18, 25 | syl2an 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ) |
75 | 74 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ) |
76 | 75 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ) |
77 | 72, 73, 76 | 3jca 1235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)) |
78 | 54, 36 | anim12i 588 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈
ℝ)) |
79 | 78 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ)) |
80 | | suble0 10421 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝐿) ≤ 0 ↔ 𝑁 ≤ 𝐿)) |
81 | 79, 80 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → ((𝑁 − 𝐿) ≤ 0 ↔ 𝑁 ≤ 𝐿)) |
82 | 81 | biimpar 501 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝑁 − 𝐿) ≤ 0) |
83 | | swrdlend 13283 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐿) ≤ 0 → (𝐵 substr 〈0, (𝑁 − 𝐿)〉) = ∅)) |
84 | 77, 82, 83 | sylc 63 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝐵 substr 〈0, (𝑁 − 𝐿)〉) = ∅) |
85 | 70, 84 | sylan9eq 2664 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((¬ 0
≤ (𝑀 − 𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿)) → (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉) = ∅) |
86 | 67, 85 | pm2.61ian 827 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉) = ∅) |
87 | 12, 86 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉) ++ ∅)) |
88 | | swrdcl 13271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉) ∈ Word 𝑉) |
89 | | ccatrid 13223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉) ∈ Word 𝑉 → ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉) ++ ∅) = (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) |
90 | 88, 89 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉) ++ ∅) = (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) |
91 | 90 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉) ++ ∅) = (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) |
92 | 91 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉) ++ ∅) = (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) |
93 | 92 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉) ++ ∅) = (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) |
94 | 87, 93 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝑁 ≤ 𝐿) → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉)) |
95 | | iffalse 4045 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (¬
𝑁 ≤ 𝐿 → if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝐿) |
96 | 95 | 3ad2ant2 1076 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝐿) |
97 | 96 | opeq2d 4347 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉 = 〈𝑀, 𝐿〉) |
98 | 97 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) = (𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉)) |
99 | | simpl 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐴 ∈ Word 𝑉) |
100 | 99, 20, 18 | 3anim123i 1240 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) |
101 | 100 | 3expb 1258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) |
102 | | swrdlend 13283 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝑀 → (𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) = ∅)) |
103 | 101, 102 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → (𝐿 ≤ 𝑀 → (𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) = ∅)) |
104 | 103 | imp 444 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) = ∅) |
105 | 104 | 3adant2 1073 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) = ∅) |
106 | 98, 105 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) = ∅) |
107 | 56, 36, 37 | syl2an 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ≤
(𝑀 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑀)) |
108 | 107 | biimprd 237 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ 𝑀 → 0 ≤ (𝑀 − 𝐿))) |
109 | 108 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → (𝐿 ≤ 𝑀 → 0 ≤ (𝑀 − 𝐿))) |
110 | 109 | imp 444 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → 0 ≤ (𝑀 − 𝐿)) |
111 | 110 | 3adant2 1073 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → 0 ≤ (𝑀 − 𝐿)) |
112 | 111, 14 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉 = 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉) |
113 | 112 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉) = (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉)) |
114 | 106, 113 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = (∅ ++ (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉))) |
115 | | swrdcl 13271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉) ∈ Word 𝑉) |
116 | 115 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉) ∈ Word 𝑉) |
117 | | ccatlid 13222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉) ∈ Word 𝑉 → (∅ ++ (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉)) = (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉)) |
118 | 116, 117 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (∅ ++ (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉)) = (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉)) |
119 | 118 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → (∅ ++ (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉)) = (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉)) |
120 | 119 | 3ad2ant1 1075 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → (∅ ++ (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉)) = (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉)) |
121 | 114, 120 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑀) → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉)) |
122 | 95 | 3ad2ant2 1076 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝐿) |
123 | 122 | opeq2d 4347 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉 = 〈𝑀, 𝐿〉) |
124 | 123 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) = (𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉)) |
125 | 33, 36, 37 | syl2an 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝐿 ∈
ℕ0) → (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑀)) |
126 | 125 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ≤
(𝑀 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑀)) |
127 | 126 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑀)) |
128 | 127 | biimpd 218 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → (0 ≤ (𝑀 − 𝐿) → 𝐿 ≤ 𝑀)) |
129 | 128 | con3dimp 456 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → ¬ 0 ≤ (𝑀 − 𝐿)) |
130 | 129 | 3adant2 1073 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → ¬ 0 ≤ (𝑀 − 𝐿)) |
131 | 130, 68 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0) = 0) |
132 | 131 | opeq1d 4346 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉 = 〈0, (𝑁 − 𝐿)〉) |
133 | 132 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉) = (𝐵 substr 〈0, (𝑁 − 𝐿)〉)) |
134 | 124, 133 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁 ≤ 𝐿 ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝑀) → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) ++ (𝐵 substr 〈0, (𝑁 − 𝐿)〉))) |
135 | 94, 121, 134 | 2if2 4086 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
∧ 𝐿 ∈
ℕ0)) → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉), ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) ++ (𝐵 substr 〈0, (𝑁 − 𝐿)〉))))) |
136 | 135 | exp32 629 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ (𝐿 ∈
ℕ0 → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉), ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) ++ (𝐵 substr 〈0, (𝑁 − 𝐿)〉))))))) |
137 | 136 | com12 32 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉), ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) ++ (𝐵 substr 〈0, (𝑁 − 𝐿)〉))))))) |
138 | 137 | 3adant3 1074 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0 ∧ 𝑀
≤ 𝑁) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉), ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) ++ (𝐵 substr 〈0, (𝑁 − 𝐿)〉))))))) |
139 | 8, 138 | sylbi 206 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉), ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) ++ (𝐵 substr 〈0, (𝑁 − 𝐿)〉))))))) |
140 | 139 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉), ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) ++ (𝐵 substr 〈0, (𝑁 − 𝐿)〉))))))) |
141 | 140 | com13 86 |
. . . . . 6
⊢ (𝐿 ∈ ℕ0
→ ((𝐴 ∈ Word
𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉), ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) ++ (𝐵 substr 〈0, (𝑁 − 𝐿)〉))))))) |
142 | 7, 141 | sylbi 206 |
. . . . 5
⊢
((#‘𝐴) ∈
ℕ0 → ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉), ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) ++ (𝐵 substr 〈0, (𝑁 − 𝐿)〉))))))) |
143 | 5, 142 | mpcom 37 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉), ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) ++ (𝐵 substr 〈0, (𝑁 − 𝐿)〉)))))) |
144 | 143 | imp 444 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)) = if(𝑁 ≤ 𝐿, (𝐴 substr 〈𝑀, 𝑁〉), if(𝐿 ≤ 𝑀, (𝐵 substr 〈(𝑀 − 𝐿), (𝑁 − 𝐿)〉), ((𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉) ++ (𝐵 substr 〈0, (𝑁 − 𝐿)〉))))) |
145 | 3, 144 | eqtr4d 2647 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr 〈𝑀, 𝑁〉) = ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉))) |
146 | 145 | ex 449 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr 〈𝑀, 𝑁〉) = ((𝐴 substr 〈𝑀, if(𝑁 ≤ 𝐿, 𝑁, 𝐿)〉) ++ (𝐵 substr 〈if(0 ≤ (𝑀 − 𝐿), (𝑀 − 𝐿), 0), (𝑁 − 𝐿)〉)))) |