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Theorem swrdccat 12668
Description: The subword of a concatenation of two words as concatenation of subwords of the two concatenated words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-May-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin12.l  |-  L  =  ( # `  A
)
Assertion
Ref Expression
swrdccat  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. )  =  ( ( A substr  <. M ,  if ( N  <_  L ,  N ,  L )
>. ) concat  ( B substr  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >. ) ) ) )

Proof of Theorem swrdccat
StepHypRef Expression
1 swrdccatin12.l . . . . 5  |-  L  =  ( # `  A
)
21swrdccat3 12667 . . . 4  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. )  =  if ( N  <_  L ,  ( A substr  <. M ,  N >. ) ,  if ( L  <_  M , 
( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L
) >. ) ,  ( ( A substr  <. M ,  L >. ) concat  ( B substr  <.
0 ,  ( N  -  L ) >.
) ) ) ) ) )
32imp 429 . . 3  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. )  =  if ( N  <_  L ,  ( A substr  <. M ,  N >. ) ,  if ( L  <_  M , 
( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L
) >. ) ,  ( ( A substr  <. M ,  L >. ) concat  ( B substr  <.
0 ,  ( N  -  L ) >.
) ) ) ) )
4 lencl 12515 . . . . . 6  |-  ( A  e. Word  V  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
54adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
61eqcomi 2473 . . . . . . 7  |-  ( # `  A )  =  L
76eleq1i 2537 . . . . . 6  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  <->  L  e.  NN0 )
8 elfz2nn0 11757 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
9 iftrue 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  <_  L  ->  if ( N  <_  L ,  N ,  L )  =  N )
109adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  N  <_  L )  ->  if ( N  <_  L ,  N ,  L )  =  N )
1110opeq2d 4213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  N  <_  L )  ->  <. M ,  if ( N  <_  L ,  N ,  L ) >.  =  <. M ,  N >. )
1211oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  N  <_  L )  -> 
( A substr  <. M ,  if ( N  <_  L ,  N ,  L )
>. )  =  ( A substr  <. M ,  N >. ) )
13 iftrue 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0  <_  ( M  -  L )  ->  if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 )  =  ( M  -  L ) )
1413opeq1d 4212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  <_  ( M  -  L )  ->  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >.  =  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L ) >. )
1514oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  <_  ( M  -  L )  ->  ( B substr  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >. )  =  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. ) )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  <_  ( M  -  L )  /\  (
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  N  <_  L ) )  ->  ( B substr  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >. )  =  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. ) )
17 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  B  e. Word  V )
18 nn0z 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  ZZ )
19 nn0z 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  ZZ )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
21 zsubcl 10894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( M  -  L
)  e.  ZZ )
2220, 21sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( M  -  L )  e.  ZZ )
23 nn0z 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
2423adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
25 zsubcl 10894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( N  -  L
)  e.  ZZ )
2624, 25sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( N  -  L )  e.  ZZ )
2722, 26jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( M  -  L )  e.  ZZ  /\  ( N  -  L )  e.  ZZ ) )
2818, 27sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( ( M  -  L )  e.  ZZ  /\  ( N  -  L )  e.  ZZ ) )
2917, 28anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  -> 
( B  e. Word  V  /\  ( ( M  -  L )  e.  ZZ  /\  ( N  -  L
)  e.  ZZ ) ) )
30 3anass 972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e. Word  V  /\  ( M  -  L
)  e.  ZZ  /\  ( N  -  L
)  e.  ZZ )  <-> 
( B  e. Word  V  /\  ( ( M  -  L )  e.  ZZ  /\  ( N  -  L
)  e.  ZZ ) ) )
3129, 30sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  -> 
( B  e. Word  V  /\  ( M  -  L
)  e.  ZZ  /\  ( N  -  L
)  e.  ZZ ) )
3231ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  <_  ( M  -  L )  /\  (
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  N  <_  L ) )  ->  ( B  e. Word  V  /\  ( M  -  L )  e.  ZZ  /\  ( N  -  L
)  e.  ZZ ) )
33 nn0re 10793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
34 nn0re 10793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
3533, 34anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
36 nn0re 10793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  RR )
37 subge0 10054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( M  -  L )  <->  L  <_  M ) )
3837adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( M  -  L
)  <->  L  <_  M ) )
39 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  N  e.  RR )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  N  e.  RR )
41 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  L  e.  RR )
42 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
4342adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
4440, 41, 433jca 1171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  ( N  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
45 letr 9667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( N  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  (
( N  <_  L  /\  L  <_  M )  ->  N  <_  M
) )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  ( ( N  <_  L  /\  L  <_  M )  ->  N  <_  M ) )
4746expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  ( N  <_  L  ->  ( L  <_  M  ->  N  <_  M
) ) )
4847com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  ( L  <_  M  ->  ( N  <_  L  ->  N  <_  M
) ) )
4938, 48sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( M  -  L
)  ->  ( N  <_  L  ->  N  <_  M ) ) )
5049com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  ( N  <_  L  ->  ( 0  <_ 
( M  -  L
)  ->  N  <_  M ) ) )
5135, 36, 50syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( N  <_  L  ->  ( 0  <_ 
( M  -  L
)  ->  N  <_  M ) ) )
5251adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  -> 
( N  <_  L  ->  ( 0  <_  ( M  -  L )  ->  N  <_  M )
) )
5352imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  N  <_  L )  -> 
( 0  <_  ( M  -  L )  ->  N  <_  M )
)
5453impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0  <_  ( M  -  L )  /\  (
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  N  <_  L ) )  ->  N  <_  M
)
5534adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
5733adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
5857adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
5936adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  L  e.  RR )
6056, 58, 593jca 1171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
6160adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  -> 
( N  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  L  e.  RR )
)
6261ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 0  <_  ( M  -  L )  /\  (
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  N  <_  L ) )  ->  ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
63 lesub1 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( N  <_  M  <->  ( N  -  L )  <_  ( M  -  L )
) )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0  <_  ( M  -  L )  /\  (
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  N  <_  L ) )  ->  ( N  <_  M 
<->  ( N  -  L
)  <_  ( M  -  L ) ) )
6554, 64mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  <_  ( M  -  L )  /\  (
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  N  <_  L ) )  ->  ( N  -  L )  <_  ( M  -  L )
)
66 swrdlend 12606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e. Word  V  /\  ( M  -  L
)  e.  ZZ  /\  ( N  -  L
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  L )  <_ 
( M  -  L
)  ->  ( B substr  <.
( M  -  L
) ,  ( N  -  L ) >.
)  =  (/) ) )
6732, 65, 66sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  <_  ( M  -  L )  /\  (
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  N  <_  L ) )  ->  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L ) >. )  =  (/) )
6816, 67eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  <_  ( M  -  L )  /\  (
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  N  <_  L ) )  ->  ( B substr  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >. )  =  (/) )
69 iffalse 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  0  <_  ( M  -  L )  ->  if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 )  =  0 )
7069opeq1d 4212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  0  <_  ( M  -  L )  ->  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >.  =  <. 0 ,  ( N  -  L ) >. )
7170oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  0  <_  ( M  -  L )  ->  ( B substr  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >. )  =  ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L )
>. ) )
7217adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  B  e. Word  V )
7372adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  N  <_  L )  ->  B  e. Word  V )
74 0zd 10865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  N  <_  L )  -> 
0  e.  ZZ )
7524, 18, 25syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( N  -  L )  e.  ZZ )
7675adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  -> 
( N  -  L
)  e.  ZZ )
7776adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  N  <_  L )  -> 
( N  -  L
)  e.  ZZ )
7873, 74, 773jca 1171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  N  <_  L )  -> 
( B  e. Word  V  /\  0  e.  ZZ  /\  ( N  -  L
)  e.  ZZ ) )
7955, 36anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
8079adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  -> 
( N  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
81 suble0 10055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( ( N  -  L )  <_  0  <->  N  <_  L ) )
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  -> 
( ( N  -  L )  <_  0  <->  N  <_  L ) )
8382biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  N  <_  L )  -> 
( N  -  L
)  <_  0 )
84 swrdlend 12606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e. Word  V  /\  0  e.  ZZ  /\  ( N  -  L )  e.  ZZ )  ->  (
( N  -  L
)  <_  0  ->  ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L )
>. )  =  (/) ) )
8578, 83, 84sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  N  <_  L )  -> 
( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L
) >. )  =  (/) )
8671, 85sylan9eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  0  <_  ( M  -  L )  /\  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  (
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  N  <_  L ) )  -> 
( B substr  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >. )  =  (/) )
8768, 86pm2.61ian 788 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  N  <_  L )  -> 
( B substr  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >. )  =  (/) )
8812, 87oveq12d 6293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  N  <_  L )  -> 
( ( A substr  <. M ,  if ( N  <_  L ,  N ,  L )
>. ) concat  ( B substr  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >. ) )  =  ( ( A substr  <. M ,  N >. ) concat  (/) ) )
89 swrdcl 12596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e. Word  V  ->  ( A substr  <. M ,  N >. )  e. Word  V )
90 ccatrid 12556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A substr  <. M ,  N >. )  e. Word  V  -> 
( ( A substr  <. M ,  N >. ) concat  (/) )  =  ( A substr  <. M ,  N >. ) )
9189, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e. Word  V  ->  (
( A substr  <. M ,  N >. ) concat  (/) )  =  ( A substr  <. M ,  N >. ) )
9291adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( A substr  <. M ,  N >. ) concat  (/) )  =  ( A substr  <. M ,  N >. ) )
9392adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  -> 
( ( A substr  <. M ,  N >. ) concat  (/) )  =  ( A substr  <. M ,  N >. ) )
9493adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  N  <_  L )  -> 
( ( A substr  <. M ,  N >. ) concat  (/) )  =  ( A substr  <. M ,  N >. ) )
9588, 94eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  N  <_  L )  -> 
( ( A substr  <. M ,  if ( N  <_  L ,  N ,  L )
>. ) concat  ( B substr  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >. ) )  =  ( A substr  <. M ,  N >. ) )
96 iffalse 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  N  <_  L  ->  if ( N  <_  L ,  N ,  L )  =  L )
97963ad2ant2 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  -.  N  <_  L  /\  L  <_  M )  ->  if ( N  <_  L ,  N ,  L )  =  L )
9897opeq2d 4213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  -.  N  <_  L  /\  L  <_  M )  ->  <. M ,  if ( N  <_  L ,  N ,  L ) >.  =  <. M ,  L >. )
9998oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  -.  N  <_  L  /\  L  <_  M )  -> 
( A substr  <. M ,  if ( N  <_  L ,  N ,  L )
>. )  =  ( A substr  <. M ,  L >. ) )
100 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  A  e. Word  V )
101100, 20, 183anim123i 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e. 
NN0 )  ->  ( A  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )
1021013expb 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  -> 
( A  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )
103 swrdlend 12606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  M  ->  ( A substr  <. M ,  L >. )  =  (/) ) )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  -> 
( L  <_  M  ->  ( A substr  <. M ,  L >. )  =  (/) ) )
105104imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  L  <_  M )  -> 
( A substr  <. M ,  L >. )  =  (/) )
1061053adant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  -.  N  <_  L  /\  L  <_  M )  -> 
( A substr  <. M ,  L >. )  =  (/) )
10799, 106eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  -.  N  <_  L  /\  L  <_  M )  -> 
( A substr  <. M ,  if ( N  <_  L ,  N ,  L )
>. )  =  (/) )
10857, 36, 37syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( 0  <_ 
( M  -  L
)  <->  L  <_  M ) )
109108biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( L  <_  M  ->  0  <_  ( M  -  L )
) )
110109adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  -> 
( L  <_  M  ->  0  <_  ( M  -  L ) ) )
111110imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  L  <_  M )  -> 
0  <_  ( M  -  L ) )
1121113adant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  -.  N  <_  L  /\  L  <_  M )  -> 
0  <_  ( M  -  L ) )
113112, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  -.  N  <_  L  /\  L  <_  M )  ->  <. if ( 0  <_ 
( M  -  L
) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L )
>.  =  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L
) >. )
114113oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  -.  N  <_  L  /\  L  <_  M )  -> 
( B substr  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >. )  =  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. ) )
115107, 114oveq12d 6293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  -.  N  <_  L  /\  L  <_  M )  -> 
( ( A substr  <. M ,  if ( N  <_  L ,  N ,  L )
>. ) concat  ( B substr  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >. ) )  =  ( (/) concat  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L ) >. )
) )
116 swrdcl 12596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e. Word  V  ->  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. )  e. Word  V )
117116adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L ) >. )  e. Word  V )
118 ccatlid 12555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. )  e. Word  V  -> 
( (/) concat  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L ) >. )
)  =  ( B substr  <. ( M  -  L
) ,  ( N  -  L ) >.
) )
119117, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( (/) concat  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L ) >. )
)  =  ( B substr  <. ( M  -  L
) ,  ( N  -  L ) >.
) )
120119adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  -> 
( (/) concat  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L ) >. )
)  =  ( B substr  <. ( M  -  L
) ,  ( N  -  L ) >.
) )
1211203ad2ant1 1012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  -.  N  <_  L  /\  L  <_  M )  -> 
( (/) concat  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L ) >. )
)  =  ( B substr  <. ( M  -  L
) ,  ( N  -  L ) >.
) )
122115, 121eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  -.  N  <_  L  /\  L  <_  M )  -> 
( ( A substr  <. M ,  if ( N  <_  L ,  N ,  L )
>. ) concat  ( B substr  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >. ) )  =  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L ) >. )
)
123963ad2ant2 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  -.  N  <_  L  /\  -.  L  <_  M )  ->  if ( N  <_  L ,  N ,  L )  =  L )
124123opeq2d 4213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  -.  N  <_  L  /\  -.  L  <_  M )  ->  <. M ,  if ( N  <_  L ,  N ,  L ) >.  =  <. M ,  L >. )
125124oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  -.  N  <_  L  /\  -.  L  <_  M )  ->  ( A substr  <. M ,  if ( N  <_  L ,  N ,  L )
>. )  =  ( A substr  <. M ,  L >. ) )
12633, 36, 37syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  ( M  -  L )  <->  L  <_  M ) )
127126adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( 0  <_ 
( M  -  L
)  <->  L  <_  M ) )
128127adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  -> 
( 0  <_  ( M  -  L )  <->  L  <_  M ) )
129128biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  -> 
( 0  <_  ( M  -  L )  ->  L  <_  M )
)
130129con3dimp 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  -.  L  <_  M )  ->  -.  0  <_  ( M  -  L ) )
1311303adant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  -.  N  <_  L  /\  -.  L  <_  M )  ->  -.  0  <_  ( M  -  L ) )
132131, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  -.  N  <_  L  /\  -.  L  <_  M )  ->  if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 )  =  0 )
133132opeq1d 4212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  -.  N  <_  L  /\  -.  L  <_  M )  ->  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >.  =  <. 0 ,  ( N  -  L ) >. )
134133oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  -.  N  <_  L  /\  -.  L  <_  M )  ->  ( B substr  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >. )  =  ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L )
>. ) )
135125, 134oveq12d 6293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  /\  -.  N  <_  L  /\  -.  L  <_  M )  ->  ( ( A substr  <. M ,  if ( N  <_  L ,  N ,  L ) >. ) concat  ( B substr  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >. ) )  =  ( ( A substr  <. M ,  L >. ) concat  ( B substr  <.
0 ,  ( N  -  L ) >.
) ) )
13695, 122, 1352if2 3980 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  L  e.  NN0 ) )  -> 
( ( A substr  <. M ,  if ( N  <_  L ,  N ,  L )
>. ) concat  ( B substr  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >. ) )  =  if ( N  <_  L ,  ( A substr  <. M ,  N >. ) ,  if ( L  <_  M ,  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. ) ,  ( ( A substr  <. M ,  L >. ) concat  ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L ) >. )
) ) ) )
137136ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  (
( A substr  <. M ,  if ( N  <_  L ,  N ,  L )
>. ) concat  ( B substr  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >. ) )  =  if ( N  <_  L ,  ( A substr  <. M ,  N >. ) ,  if ( L  <_  M ,  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. ) ,  ( ( A substr  <. M ,  L >. ) concat  ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L ) >. )
) ) ) ) )
138137expd 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( ( A substr  <. M ,  if ( N  <_  L ,  N ,  L ) >. ) concat  ( B substr  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >. ) )  =  if ( N  <_  L ,  ( A substr  <. M ,  N >. ) ,  if ( L  <_  M ,  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. ) ,  ( ( A substr  <. M ,  L >. ) concat  ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L ) >. )
) ) ) ) ) )
139138com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( ( A substr  <. M ,  if ( N  <_  L ,  N ,  L ) >. ) concat  ( B substr  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >. ) )  =  if ( N  <_  L ,  ( A substr  <. M ,  N >. ) ,  if ( L  <_  M ,  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. ) ,  ( ( A substr  <. M ,  L >. ) concat  ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L ) >. )
) ) ) ) ) )
1401393adant3 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( L  e. 
NN0  ->  ( ( A substr  <. M ,  if ( N  <_  L ,  N ,  L ) >. ) concat  ( B substr  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >. ) )  =  if ( N  <_  L ,  ( A substr  <. M ,  N >. ) ,  if ( L  <_  M ,  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. ) ,  ( ( A substr  <. M ,  L >. ) concat  ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L ) >. )
) ) ) ) ) )
1418, 140sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( L  e. 
NN0  ->  ( ( A substr  <. M ,  if ( N  <_  L ,  N ,  L ) >. ) concat  ( B substr  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >. ) )  =  if ( N  <_  L ,  ( A substr  <. M ,  N >. ) ,  if ( L  <_  M ,  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. ) ,  ( ( A substr  <. M ,  L >. ) concat  ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L ) >. )
) ) ) ) ) )
142141adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( L  +  ( # `  B ) ) ) )  -> 
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( ( A substr  <. M ,  if ( N  <_  L ,  N ,  L ) >. ) concat  ( B substr  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >. ) )  =  if ( N  <_  L ,  ( A substr  <. M ,  N >. ) ,  if ( L  <_  M ,  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. ) ,  ( ( A substr  <. M ,  L >. ) concat  ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L ) >. )
) ) ) ) ) )
143142com13 80 . . . . . 6  |-  ( L  e.  NN0  ->  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( A substr  <. M ,  if ( N  <_  L ,  N ,  L ) >. ) concat  ( B substr  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >. ) )  =  if ( N  <_  L ,  ( A substr  <. M ,  N >. ) ,  if ( L  <_  M ,  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. ) ,  ( ( A substr  <. M ,  L >. ) concat  ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L ) >. )
) ) ) ) ) )
1447, 143sylbi 195 . . . . 5  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  (
( M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( A substr  <. M ,  if ( N  <_  L ,  N ,  L ) >. ) concat  ( B substr  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >. ) )  =  if ( N  <_  L ,  ( A substr  <. M ,  N >. ) ,  if ( L  <_  M ,  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. ) ,  ( ( A substr  <. M ,  L >. ) concat  ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L ) >. )
) ) ) ) ) )
1455, 144mpcom 36 . . . 4  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( A substr  <. M ,  if ( N  <_  L ,  N ,  L ) >. ) concat  ( B substr  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >. ) )  =  if ( N  <_  L ,  ( A substr  <. M ,  N >. ) ,  if ( L  <_  M ,  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. ) ,  ( ( A substr  <. M ,  L >. ) concat  ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L ) >. )
) ) ) ) )
146145imp 429 . . 3  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( A substr  <. M ,  if ( N  <_  L ,  N ,  L ) >. ) concat  ( B substr  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >. ) )  =  if ( N  <_  L ,  ( A substr  <. M ,  N >. ) ,  if ( L  <_  M ,  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. ) ,  ( ( A substr  <. M ,  L >. ) concat  ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L ) >. )
) ) ) )
1473, 146eqtr4d 2504 . 2  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. )  =  ( ( A substr  <. M ,  if ( N  <_  L ,  N ,  L )
>. ) concat  ( B substr  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >. ) ) )
148147ex 434 1  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. )  =  ( ( A substr  <. M ,  if ( N  <_  L ,  N ,  L )
>. ) concat  ( B substr  <. if ( 0  <_  ( M  -  L ) ,  ( M  -  L ) ,  0 ) ,  ( N  -  L
) >. ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   (/)c0 3778   ifcif 3932   <.cop 4026   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RRcr 9480   0cc0 9481    + caddc 9484    <_ cle 9618    - cmin 9794   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ...cfz 11661   #chash 12360  Word cword 12487   concat cconcat 12489   substr csubstr 12491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-hash 12361  df-word 12495  df-concat 12497  df-substr 12499
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