Theorem hash2pwpr 13115

Description: If the size of a subset of an unordered pair is 2, the subset is the pair itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hash2pwpr	⊢ (((#‘𝑃) = 2 ∧ 𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})

Proof of Theorem hash2pwpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwpr 4368	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {𝑋, 𝑌} = ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}})
2	1	eleq2i 2680	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} ↔ 𝑃 ∈ ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
3		elun 3715	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) ↔ (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
4	2, 3	bitri 263	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} ↔ (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
5		elpri 4145	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} → (𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}))
6		elpri 4145	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}} → (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
7	5, 6	orim12i 537	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) → ((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) ∨ (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
8		fveq2 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = ∅ → (#‘𝑃) = (#‘∅))
9		hash0 13019	. . . . . . . . . 10 ⊢ (#‘∅) = 0
10	9	eqeq2i 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑃) = (#‘∅) ↔ (#‘𝑃) = 0)
11		eqeq1 2614	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝑃) = 0 → ((#‘𝑃) = 2 ↔ 0 = 2))
12		0ne2 11116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≠ 2
13		eqneqall 2793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = 2 → (0 ≠ 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
14	12, 13	mpi 20	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
15	11, 14	syl6bi 242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑃) = 0 → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
16	10, 15	sylbi 206	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑃) = (#‘∅) → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
17	8, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
18		hashsng 13020	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ V → (#‘{𝑋}) = 1)
19		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑋} = 𝑃 → (#‘{𝑋}) = (#‘𝑃))
20	19	eqcoms 2618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 = {𝑋} → (#‘{𝑋}) = (#‘𝑃))
21	20	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = {𝑋} → ((#‘{𝑋}) = 1 ↔ (#‘𝑃) = 1))
22		eqeq1 2614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑃) = 1 → ((#‘𝑃) = 2 ↔ 1 = 2))
23		1ne2 11117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ 2
24		eqneqall 2793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 = 2 → (1 ≠ 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
25	23, 24	mpi 20	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
26	22, 25	syl6bi 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝑃) = 1 → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
27	21, 26	syl6bi 242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = {𝑋} → ((#‘{𝑋}) = 1 → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
28	18, 27	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑃 = {𝑋} → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
29		snprc 4197	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V ↔ {𝑋} = ∅)
30		eqeq2 2621	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑋} = ∅ → (𝑃 = {𝑋} ↔ 𝑃 = ∅))
31	8, 9	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = ∅ → (#‘𝑃) = 0)
32	31	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((#‘𝑃) = 2 ↔ 0 = 2))
33	32, 14	syl6bi 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
34	30, 33	syl6bi 242	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑋} = ∅ → (𝑃 = {𝑋} → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
35	29, 34	sylbi 206	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (𝑃 = {𝑋} → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
36	28, 35	pm2.61i 175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = {𝑋} → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
37	17, 36	jaoi 393	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
38		hashsng 13020	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ V → (#‘{𝑌}) = 1)
39		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑌} = 𝑃 → (#‘{𝑌}) = (#‘𝑃))
40	39	eqcoms 2618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 = {𝑌} → (#‘{𝑌}) = (#‘𝑃))
41	40	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = {𝑌} → ((#‘{𝑌}) = 1 ↔ (#‘𝑃) = 1))
42	41, 26	syl6bi 242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = {𝑌} → ((#‘{𝑌}) = 1 → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
43	38, 42	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑃 = {𝑌} → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
44		snprc 4197	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ V ↔ {𝑌} = ∅)
45		eqeq2 2621	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑌} = ∅ → (𝑃 = {𝑌} ↔ 𝑃 = ∅))
46	8	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((#‘𝑃) = 2 ↔ (#‘∅) = 2))
47	9	eqeq1i 2615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘∅) = 2 ↔ 0 = 2)
48	47, 14	sylbi 206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘∅) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
49	46, 48	syl6bi 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = ∅ → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
50	45, 49	syl6bi 242	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑌} = ∅ → (𝑃 = {𝑌} → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
51	44, 50	sylbi 206	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑌 ∈ V → (𝑃 = {𝑌} → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
52	43, 51	pm2.61i 175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = {𝑌} → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
53		ax-1 6	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = {𝑋, 𝑌} → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
54	52, 53	jaoi 393	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌}) → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
55	37, 54	jaoi 393	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) ∨ (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌})) → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
56	55	com12 32	. . . 4 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → (((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) ∨ (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌})) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
57	7, 56	syl5 33	. . 3 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → ((𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
58	4, 57	syl5bi 231	. 2 ⊢ ((#‘𝑃) = 2 → (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
59	58	imp 444	1 ⊢ (((#‘𝑃) = 2 ∧ 𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∪ cun 3538  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  {cpr 4127  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  #chash 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980

This theorem is referenced by:  pr2pwpr  13116