Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2prd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash2prd 13114
 Description: A set of size two is an unordered pair if it contains two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 1-Nov-2020.)
Assertion
Ref Expression
hash2prd ((𝑃𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 2) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem hash2prd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hash2prb 13111 . . 3 (𝑃𝑉 → ((#‘𝑃) = 2 ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦})))
2 simpr 476 . . . . . . . 8 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → 𝑃 = {𝑥, 𝑦})
3 3simpa 1051 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝑃𝑌𝑃))
43adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) → (𝑋𝑃𝑌𝑃))
54adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑋𝑃𝑌𝑃))
6 eleq2 2677 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → (𝑋𝑃𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦}))
7 eleq2 2677 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → (𝑌𝑃𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦}))
86, 7anbi12d 743 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → ((𝑋𝑃𝑌𝑃) ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
98adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃) ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
105, 9mpbid 221 . . . . . . . . 9 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦}))
11 simpl 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑃𝑦𝑃))
1211, 3anim12ci 589 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)))
13 neneq 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝑌 → ¬ 𝑋 = 𝑌)
14133ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ¬ 𝑋 = 𝑌)
1514adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) → ¬ 𝑋 = 𝑌)
16 prel12g 4327 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → (¬ 𝑋 = 𝑌 → ({𝑋, 𝑌} = {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦}))))
1712, 15, 16sylc 63 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) → ({𝑋, 𝑌} = {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
1817adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ({𝑋, 𝑌} = {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑋 ∈ {𝑥, 𝑦} ∧ 𝑌 ∈ {𝑥, 𝑦})))
1910, 18mpbird 246 . . . . . . . 8 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → {𝑋, 𝑌} = {𝑥, 𝑦})
202, 19eqtr4d 2647 . . . . . . 7 (((((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
2120exp31 628 . . . . . 6 (((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
2221com23 84 . . . . 5 (((𝑥𝑃𝑦𝑃) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑃 = {𝑥, 𝑦} → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
2322expimpd 627 . . . 4 ((𝑥𝑃𝑦𝑃) → ((𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
2423rexlimivv 3018 . . 3 (∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑥𝑦𝑃 = {𝑥, 𝑦}) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
251, 24syl6bi 242 . 2 (𝑃𝑉 → ((#‘𝑃) = 2 → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
2625imp 444 1 ((𝑃𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 2) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  {cpr 4127  ‘cfv 5804  2c2 10947  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980 This theorem is referenced by:  symg2bas  17641
 Copyright terms: Public domain W3C validator