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Theorem hash2prd 12179
Description: A set of size two is an unordered pair if it contains two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
hash2prd  |-  ( ( P  e.  V  /\  ( # `  P )  =  2 )  -> 
( ( X  e.  P  /\  Y  e.  P  /\  X  =/= 
Y )  ->  P  =  { X ,  Y } ) )

Proof of Theorem hash2prd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hash2prde 12177 . 2  |-  ( ( P  e.  V  /\  ( # `  P )  =  2 )  ->  E. x E. y ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } ) )
2 elpri 3895 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  { x ,  y }  ->  ( X  =  x  \/  X  =  y )
)
3 elpri 3895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  { x ,  y }  ->  ( Y  =  x  \/  Y  =  y )
)
4 eqtr3 2460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  =  x  /\  X  =  x )  ->  Y  =  X )
5 eqneqall 2703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  =/=  Y  ->  (
x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) ) )
65eqcoms 2444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y  =  X  ->  ( X  =/=  Y  ->  (
x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) ) )
74, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  =  x  /\  X  =  x )  ->  ( X  =/=  Y  ->  ( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) ) )
8 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
98prid1 3981 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
{ x ,  y }
10 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
1110prid2 3982 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
{ x ,  y }
129, 11pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  { x ,  y }  /\  y  e.  { x ,  y } )
13 preq12 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  =  x  /\  Y  =  y )  ->  { X ,  Y }  =  { x ,  y } )
1413eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  =  x  /\  Y  =  y )  ->  ( x  e.  { X ,  Y }  <->  x  e.  { x ,  y } ) )
1513eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  =  x  /\  Y  =  y )  ->  ( y  e.  { X ,  Y }  <->  y  e.  { x ,  y } ) )
1614, 15anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  =  x  /\  Y  =  y )  ->  ( ( x  e. 
{ X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y }
)  <->  ( x  e. 
{ x ,  y }  /\  y  e. 
{ x ,  y } ) ) )
1716ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Y  =  y  /\  X  =  x )  ->  ( ( x  e. 
{ X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y }
)  <->  ( x  e. 
{ x ,  y }  /\  y  e. 
{ x ,  y } ) ) )
1812, 17mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  =  y  /\  X  =  x )  ->  ( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) )
1918a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  =  y  /\  X  =  x )  ->  ( X  =/=  Y  ->  ( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) ) )
208prid2 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
{ y ,  x }
2110prid1 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
{ y ,  x }
2220, 21pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  { y ,  x }  /\  y  e.  { y ,  x } )
23 preq12 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  =  y  /\  Y  =  x )  ->  { X ,  Y }  =  { y ,  x } )
2423eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  =  y  /\  Y  =  x )  ->  ( x  e.  { X ,  Y }  <->  x  e.  { y ,  x } ) )
2523eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  =  y  /\  Y  =  x )  ->  ( y  e.  { X ,  Y }  <->  y  e.  { y ,  x } ) )
2624, 25anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  =  y  /\  Y  =  x )  ->  ( ( x  e. 
{ X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y }
)  <->  ( x  e. 
{ y ,  x }  /\  y  e.  {
y ,  x }
) ) )
2722, 26mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  =  y  /\  Y  =  x )  ->  ( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) )
2827ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  =  x  /\  X  =  y )  ->  ( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) )
2928a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  =  x  /\  X  =  y )  ->  ( X  =/=  Y  ->  ( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) ) )
30 eqtr3 2460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  =  y  /\  X  =  y )  ->  Y  =  X )
3130, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  =  y  /\  X  =  y )  ->  ( X  =/=  Y  ->  ( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) ) )
327, 19, 29, 31ccase 937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Y  =  x  \/  Y  =  y )  /\  ( X  =  x  \/  X  =  y ) )  ->  ( X  =/= 
Y  ->  ( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y }
) ) )
3332ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  =  x  \/  Y  =  y )  ->  ( ( X  =  x  \/  X  =  y )  -> 
( X  =/=  Y  ->  ( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) ) ) )
343, 33syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  { x ,  y }  ->  (
( X  =  x  \/  X  =  y )  ->  ( X  =/=  Y  ->  ( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y }
) ) ) )
352, 34syl5com 30 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  { x ,  y }  ->  ( Y  e.  { x ,  y }  ->  ( X  =/=  Y  -> 
( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) ) ) )
36353imp 1181 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  { x ,  y }  /\  Y  e.  { x ,  y }  /\  X  =/=  Y )  -> 
( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) )
3736adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =/=  y  /\  ( X  e.  { x ,  y }  /\  Y  e.  { x ,  y }  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( x  e. 
{ X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y }
) )
38 3simpa 985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  { x ,  y }  /\  Y  e.  { x ,  y }  /\  X  =/=  Y )  -> 
( X  e.  {
x ,  y }  /\  Y  e.  {
x ,  y } ) )
398, 10pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V )
4038, 39jctil 537 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  { x ,  y }  /\  Y  e.  { x ,  y }  /\  X  =/=  Y )  -> 
( ( x  e. 
_V  /\  y  e.  _V )  /\  ( X  e.  { x ,  y }  /\  Y  e.  { x ,  y } ) ) )
41 df-ne 2606 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
4241biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( x  =/=  y  ->  -.  x  =  y )
43 prel12g 4050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V )  /\  ( X  e.  {
x ,  y }  /\  Y  e.  {
x ,  y } ) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( { x ,  y }  =  { X ,  Y }  <->  ( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) ) ) )
4443imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
_V  /\  y  e.  _V )  /\  ( X  e.  { x ,  y }  /\  Y  e.  { x ,  y } ) )  /\  -.  x  =  y )  -> 
( { x ,  y }  =  { X ,  Y }  <->  ( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) ) )
4540, 42, 44syl2anr 478 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =/=  y  /\  ( X  e.  { x ,  y }  /\  Y  e.  { x ,  y }  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( { x ,  y }  =  { X ,  Y }  <->  ( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) ) )
4637, 45mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( x  =/=  y  /\  ( X  e.  { x ,  y }  /\  Y  e.  { x ,  y }  /\  X  =/=  Y ) )  ->  { x ,  y }  =  { X ,  Y }
)
4746ex 434 . . . . 5  |-  ( x  =/=  y  ->  (
( X  e.  {
x ,  y }  /\  Y  e.  {
x ,  y }  /\  X  =/=  Y
)  ->  { x ,  y }  =  { X ,  Y }
) )
4847adantr 465 . . . 4  |-  ( ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } )  ->  ( ( X  e.  { x ,  y }  /\  Y  e.  { x ,  y }  /\  X  =/= 
Y )  ->  { x ,  y }  =  { X ,  Y }
) )
49 eleq2 2502 . . . . . . 7  |-  ( P  =  { x ,  y }  ->  ( X  e.  P  <->  X  e.  { x ,  y } ) )
50 eleq2 2502 . . . . . . 7  |-  ( P  =  { x ,  y }  ->  ( Y  e.  P  <->  Y  e.  { x ,  y } ) )
5149, 503anbi12d 1290 . . . . . 6  |-  ( P  =  { x ,  y }  ->  (
( X  e.  P  /\  Y  e.  P  /\  X  =/=  Y
)  <->  ( X  e. 
{ x ,  y }  /\  Y  e. 
{ x ,  y }  /\  X  =/= 
Y ) ) )
52 eqeq1 2447 . . . . . 6  |-  ( P  =  { x ,  y }  ->  ( P  =  { X ,  Y }  <->  { x ,  y }  =  { X ,  Y }
) )
5351, 52imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( P  =  { x ,  y }  ->  (
( ( X  e.  P  /\  Y  e.  P  /\  X  =/= 
Y )  ->  P  =  { X ,  Y } )  <->  ( ( X  e.  { x ,  y }  /\  Y  e.  { x ,  y }  /\  X  =/=  Y )  ->  { x ,  y }  =  { X ,  Y } ) ) )
5453adantl 466 . . . 4  |-  ( ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } )  ->  ( ( ( X  e.  P  /\  Y  e.  P  /\  X  =/=  Y )  ->  P  =  { X ,  Y } )  <->  ( ( X  e.  { x ,  y }  /\  Y  e.  { x ,  y }  /\  X  =/=  Y )  ->  { x ,  y }  =  { X ,  Y } ) ) )
5548, 54mpbird 232 . . 3  |-  ( ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } )  ->  ( ( X  e.  P  /\  Y  e.  P  /\  X  =/= 
Y )  ->  P  =  { X ,  Y } ) )
5655exlimivv 1689 . 2  |-  ( E. x E. y ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } )  ->  ( ( X  e.  P  /\  Y  e.  P  /\  X  =/= 
Y )  ->  P  =  { X ,  Y } ) )
571, 56syl 16 1  |-  ( ( P  e.  V  /\  ( # `  P )  =  2 )  -> 
( ( X  e.  P  /\  Y  e.  P  /\  X  =/= 
Y )  ->  P  =  { X ,  Y } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2604   _Vcvv 2970   {cpr 3877   ` cfv 5416   2c2 10369   #chash 12101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-card 8107  df-cda 8335  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-hash 12102
This theorem is referenced by:  symg2bas  15901
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