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Theorem hash2prd 12478
Description: A set of size two is an unordered pair if it contains two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
hash2prd  |-  ( ( P  e.  V  /\  ( # `  P )  =  2 )  -> 
( ( X  e.  P  /\  Y  e.  P  /\  X  =/= 
Y )  ->  P  =  { X ,  Y } ) )

Proof of Theorem hash2prd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hash2prde 12476 . 2  |-  ( ( P  e.  V  /\  ( # `  P )  =  2 )  ->  E. x E. y ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } ) )
2 elpri 4047 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  { x ,  y }  ->  ( X  =  x  \/  X  =  y )
)
3 elpri 4047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  { x ,  y }  ->  ( Y  =  x  \/  Y  =  y )
)
4 eqtr3 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  =  x  /\  X  =  x )  ->  Y  =  X )
5 eqneqall 2674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  =/=  Y  ->  (
x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) ) )
65eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y  =  X  ->  ( X  =/=  Y  ->  (
x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) ) )
74, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  =  x  /\  X  =  x )  ->  ( X  =/=  Y  ->  ( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) ) )
8 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
98prid1 4135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
{ x ,  y }
10 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
1110prid2 4136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
{ x ,  y }
129, 11pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  { x ,  y }  /\  y  e.  { x ,  y } )
13 preq12 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  =  x  /\  Y  =  y )  ->  { X ,  Y }  =  { x ,  y } )
1413eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  =  x  /\  Y  =  y )  ->  ( x  e.  { X ,  Y }  <->  x  e.  { x ,  y } ) )
1513eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  =  x  /\  Y  =  y )  ->  ( y  e.  { X ,  Y }  <->  y  e.  { x ,  y } ) )
1614, 15anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  =  x  /\  Y  =  y )  ->  ( ( x  e. 
{ X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y }
)  <->  ( x  e. 
{ x ,  y }  /\  y  e. 
{ x ,  y } ) ) )
1716ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Y  =  y  /\  X  =  x )  ->  ( ( x  e. 
{ X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y }
)  <->  ( x  e. 
{ x ,  y }  /\  y  e. 
{ x ,  y } ) ) )
1812, 17mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  =  y  /\  X  =  x )  ->  ( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) )
1918a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  =  y  /\  X  =  x )  ->  ( X  =/=  Y  ->  ( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) ) )
208prid2 4136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
{ y ,  x }
2110prid1 4135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
{ y ,  x }
2220, 21pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  { y ,  x }  /\  y  e.  { y ,  x } )
23 preq12 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  =  y  /\  Y  =  x )  ->  { X ,  Y }  =  { y ,  x } )
2423eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  =  y  /\  Y  =  x )  ->  ( x  e.  { X ,  Y }  <->  x  e.  { y ,  x } ) )
2523eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  =  y  /\  Y  =  x )  ->  ( y  e.  { X ,  Y }  <->  y  e.  { y ,  x } ) )
2624, 25anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  =  y  /\  Y  =  x )  ->  ( ( x  e. 
{ X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y }
)  <->  ( x  e. 
{ y ,  x }  /\  y  e.  {
y ,  x }
) ) )
2722, 26mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  =  y  /\  Y  =  x )  ->  ( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) )
2827ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  =  x  /\  X  =  y )  ->  ( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) )
2928a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  =  x  /\  X  =  y )  ->  ( X  =/=  Y  ->  ( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) ) )
30 eqtr3 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  =  y  /\  X  =  y )  ->  Y  =  X )
3130, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  =  y  /\  X  =  y )  ->  ( X  =/=  Y  ->  ( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) ) )
327, 19, 29, 31ccase 944 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Y  =  x  \/  Y  =  y )  /\  ( X  =  x  \/  X  =  y ) )  ->  ( X  =/= 
Y  ->  ( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y }
) ) )
3332ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  =  x  \/  Y  =  y )  ->  ( ( X  =  x  \/  X  =  y )  -> 
( X  =/=  Y  ->  ( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) ) ) )
343, 33syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  { x ,  y }  ->  (
( X  =  x  \/  X  =  y )  ->  ( X  =/=  Y  ->  ( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y }
) ) ) )
352, 34syl5com 30 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  { x ,  y }  ->  ( Y  e.  { x ,  y }  ->  ( X  =/=  Y  -> 
( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) ) ) )
36353imp 1190 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  { x ,  y }  /\  Y  e.  { x ,  y }  /\  X  =/=  Y )  -> 
( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) )
3736adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =/=  y  /\  ( X  e.  { x ,  y }  /\  Y  e.  { x ,  y }  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( x  e. 
{ X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y }
) )
38 3simpa 993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  { x ,  y }  /\  Y  e.  { x ,  y }  /\  X  =/=  Y )  -> 
( X  e.  {
x ,  y }  /\  Y  e.  {
x ,  y } ) )
398, 10pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V )
4038, 39jctil 537 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  { x ,  y }  /\  Y  e.  { x ,  y }  /\  X  =/=  Y )  -> 
( ( x  e. 
_V  /\  y  e.  _V )  /\  ( X  e.  { x ,  y }  /\  Y  e.  { x ,  y } ) ) )
41 df-ne 2664 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
4241biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( x  =/=  y  ->  -.  x  =  y )
43 prel12g 4206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V )  /\  ( X  e.  {
x ,  y }  /\  Y  e.  {
x ,  y } ) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( { x ,  y }  =  { X ,  Y }  <->  ( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) ) ) )
4443imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
_V  /\  y  e.  _V )  /\  ( X  e.  { x ,  y }  /\  Y  e.  { x ,  y } ) )  /\  -.  x  =  y )  -> 
( { x ,  y }  =  { X ,  Y }  <->  ( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) ) )
4540, 42, 44syl2anr 478 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =/=  y  /\  ( X  e.  { x ,  y }  /\  Y  e.  { x ,  y }  /\  X  =/=  Y ) )  ->  ( { x ,  y }  =  { X ,  Y }  <->  ( x  e.  { X ,  Y }  /\  y  e.  { X ,  Y } ) ) )
4637, 45mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( x  =/=  y  /\  ( X  e.  { x ,  y }  /\  Y  e.  { x ,  y }  /\  X  =/=  Y ) )  ->  { x ,  y }  =  { X ,  Y }
)
4746ex 434 . . . . 5  |-  ( x  =/=  y  ->  (
( X  e.  {
x ,  y }  /\  Y  e.  {
x ,  y }  /\  X  =/=  Y
)  ->  { x ,  y }  =  { X ,  Y }
) )
4847adantr 465 . . . 4  |-  ( ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } )  ->  ( ( X  e.  { x ,  y }  /\  Y  e.  { x ,  y }  /\  X  =/= 
Y )  ->  { x ,  y }  =  { X ,  Y }
) )
49 eleq2 2540 . . . . . . 7  |-  ( P  =  { x ,  y }  ->  ( X  e.  P  <->  X  e.  { x ,  y } ) )
50 eleq2 2540 . . . . . . 7  |-  ( P  =  { x ,  y }  ->  ( Y  e.  P  <->  Y  e.  { x ,  y } ) )
5149, 503anbi12d 1300 . . . . . 6  |-  ( P  =  { x ,  y }  ->  (
( X  e.  P  /\  Y  e.  P  /\  X  =/=  Y
)  <->  ( X  e. 
{ x ,  y }  /\  Y  e. 
{ x ,  y }  /\  X  =/= 
Y ) ) )
52 eqeq1 2471 . . . . . 6  |-  ( P  =  { x ,  y }  ->  ( P  =  { X ,  Y }  <->  { x ,  y }  =  { X ,  Y }
) )
5351, 52imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( P  =  { x ,  y }  ->  (
( ( X  e.  P  /\  Y  e.  P  /\  X  =/= 
Y )  ->  P  =  { X ,  Y } )  <->  ( ( X  e.  { x ,  y }  /\  Y  e.  { x ,  y }  /\  X  =/=  Y )  ->  { x ,  y }  =  { X ,  Y } ) ) )
5453adantl 466 . . . 4  |-  ( ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } )  ->  ( ( ( X  e.  P  /\  Y  e.  P  /\  X  =/=  Y )  ->  P  =  { X ,  Y } )  <->  ( ( X  e.  { x ,  y }  /\  Y  e.  { x ,  y }  /\  X  =/=  Y )  ->  { x ,  y }  =  { X ,  Y } ) ) )
5548, 54mpbird 232 . . 3  |-  ( ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } )  ->  ( ( X  e.  P  /\  Y  e.  P  /\  X  =/= 
Y )  ->  P  =  { X ,  Y } ) )
5655exlimivv 1699 . 2  |-  ( E. x E. y ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } )  ->  ( ( X  e.  P  /\  Y  e.  P  /\  X  =/= 
Y )  ->  P  =  { X ,  Y } ) )
571, 56syl 16 1  |-  ( ( P  e.  V  /\  ( # `  P )  =  2 )  -> 
( ( X  e.  P  /\  Y  e.  P  /\  X  =/= 
Y )  ->  P  =  { X ,  Y } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3113   {cpr 4029   ` cfv 5586   2c2 10581   #chash 12367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-hash 12368
This theorem is referenced by:  symg2bas  16215
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