Theorem eupth0 41382

Description: There is an Eulerian path on an empty graph, i.e. a graph with at least one vertex, but without an edge. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 5-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupth0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupth0.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
eupth0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})

Proof of Theorem eupth0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2611	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝐴⟩} = {⟨0, 𝐴⟩})
2		eupth0.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	is01wlk 41285	. . . 4 ⊢ (({⟨0, 𝐴⟩} = {⟨0, 𝐴⟩} ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∅(1Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})
4	1, 3	mpancom 700	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅(1Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})
5		f1o0 6085	. . . . 5 ⊢ ∅:∅–1-1-onto→∅
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 = ∅ → ∅:∅–1-1-onto→∅)
7		eqidd 2611	. . . . 5 ⊢ (𝐼 = ∅ → ∅ = ∅)
8		hash0 13019	. . . . . . . 8 ⊢ (#‘∅) = 0
9	8	oveq2i 6560	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(#‘∅)) = (0..^0)
10		fzo0 12361	. . . . . . 7 ⊢ (0..^0) = ∅
11	9, 10	eqtri 2632	. . . . . 6 ⊢ (0..^(#‘∅)) = ∅
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐼 = ∅ → (0..^(#‘∅)) = ∅)
13		dmeq 5246	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 = ∅ → dom 𝐼 = dom ∅)
14		dm0 5260	. . . . . 6 ⊢ dom ∅ = ∅
15	13, 14	syl6eq 2660	. . . . 5 ⊢ (𝐼 = ∅ → dom 𝐼 = ∅)
16	7, 12, 15	f1oeq123d 6046	. . . 4 ⊢ (𝐼 = ∅ → (∅:(0..^(#‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼 ↔ ∅:∅–1-1-onto→∅))
17	6, 16	mpbird 246	. . 3 ⊢ (𝐼 = ∅ → ∅:(0..^(#‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼)
18	4, 17	anim12i 588	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = ∅) → (∅(1Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ∧ ∅:(0..^(#‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼))
19	2	1vgrex 25679	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = ∅) → 𝐺 ∈ V)
21		0ex 4718	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅ ∈ V)
23		snex 4835	. . . 4 ⊢ {⟨0, 𝐴⟩} ∈ V
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = ∅) → {⟨0, 𝐴⟩} ∈ V)
25		eupth0.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
26	25	iseupthf1o 41369	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ ∅ ∈ V ∧ {⟨0, 𝐴⟩} ∈ V) → (∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ↔ (∅(1Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ∧ ∅:(0..^(#‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼)))
27	20, 22, 24, 26	syl3anc 1318	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = ∅) → (∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ↔ (∅(1Walks‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩} ∧ ∅:(0..^(#‘∅))–1-1-onto→dom 𝐼)))
28	18, 27	mpbird 246	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = ∅) → ∅(EulerPaths‘𝐺){⟨0, 𝐴⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {csn 4125  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  1Walksc1wlks 40796  EulerPathsceupth 41364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-1wlks 40800  df-trls 40901  df-eupth 41365

This theorem is referenced by: (None)