Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eupthres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupthres 41383
 Description: The restriction ⟨𝐻, 𝑄⟩ of an Eulerian path ⟨𝐹, 𝑃⟩ to an initial segment of the path (of length 𝑁) forms an Eulerian path on the subgraph 𝑆 consisting of the edges in the initial segment. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eupth0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupth0.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthres.d (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthres.n (𝜑𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
eupthres.e (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
eupthres.h 𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁))
eupthres.q 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
eupthres.s (Vtx‘𝑆) = 𝑉
Assertion
Ref Expression
eupthres (𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem eupthres
StepHypRef Expression
1 eupth0.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eupth0.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 eupthres.d . . . 4 (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
4 eupthistrl 41379 . . . 4 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃)
5 trlis1wlk 40905 . . . 4 (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
63, 4, 53syl 18 . . 3 (𝜑𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
7 eupthres.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
8 eupthres.s . . . 4 (Vtx‘𝑆) = 𝑉
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
10 eupthres.e . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
11 eupthres.h . . 3 𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁))
12 eupthres.q . . 3 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
131, 2, 6, 7, 9, 10, 11, 121wlkres 40879 . 2 (𝜑𝐻(1Walks‘𝑆)𝑄)
143, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃)
151, 2, 14, 7, 11trlreslem 40907 . 2 (𝜑𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
161, 2, 6, 7, 9, 10, 11, 121wlkreslem 40878 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
17 eqid 2610 . . . . 5 (iEdg‘𝑆) = (iEdg‘𝑆)
1817iseupthf1o 41369 . . . 4 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V) → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(1Walks‘𝑆)𝑄𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (iEdg‘𝑆))))
1916, 18syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(1Walks‘𝑆)𝑄𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (iEdg‘𝑆))))
2010dmeqd 5248 . . . . 5 (𝜑 → dom (iEdg‘𝑆) = dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
2120f1oeq3d 6047 . . . 4 (𝜑 → (𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (iEdg‘𝑆) ↔ 𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))))
2221anbi2d 736 . . 3 (𝜑 → ((𝐻(1Walks‘𝑆)𝑄𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (iEdg‘𝑆)) ↔ (𝐻(1Walks‘𝑆)𝑄𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))))
2319, 22bitrd 267 . 2 (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(1Walks‘𝑆)𝑄𝐻:(0..^(#‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))))
2413, 15, 23mpbir2and 959 1 (𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  dom cdm 5038   ↾ cres 5040   “ cima 5041  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  1Walksc1wlks 40796  TrailSctrls 40899  EulerPathsceupth 41364 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-substr 13158  df-1wlks 40800  df-trls 40901  df-eupth 41365 This theorem is referenced by:  eucrct2eupth1  41412
 Copyright terms: Public domain W3C validator