Theorem 0wlkon 26077

Description: A walk of length 0 from a vertex to itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
0wlkon	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(𝑉 WalkOn 𝐸)𝑁)𝑃))

Proof of Theorem 0wlkon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 472	. . . . 5 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁)) → 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
3		simpl 472	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌))
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁)) → (𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌))
5		fzfid 12634	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁)) → (0...0) ∈ Fin)
6		simplll 794	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁)) → 𝑉 ∈ 𝑋)
7		fpmg 7769	. . . . . 6 ⊢ (((0...0) ∈ Fin ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃:(0...0)⟶𝑉) → 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))
8	5, 6, 2, 7	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁)) → 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0)))
9		0wlk 26075	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0))) → (∅(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
10	4, 8, 9	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁)) → (∅(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))
11	2, 10	mpbird 246	. . 3 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁)) → ∅(𝑉 Walks 𝐸)𝑃)
12		simprr 792	. . 3 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁)) → (𝑃‘0) = 𝑁)
13		hash0 13019	. . . . . 6 ⊢ (#‘∅) = 0
14		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘∅) = 0 → (#‘∅) = 0)
15	14	eqcomd 2616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘∅) = 0 → 0 = (#‘∅))
16	15	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘∅) = 0 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘∅)))
17	16	eqeq1d 2612	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘∅) = 0 → ((𝑃‘0) = 𝑁 ↔ (𝑃‘(#‘∅)) = 𝑁))
18	17	biimpd 218	. . . . . 6 ⊢ ((#‘∅) = 0 → ((𝑃‘0) = 𝑁 → (𝑃‘(#‘∅)) = 𝑁))
19	13, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝑁 → (𝑃‘(#‘∅)) = 𝑁)
20	19	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → (𝑃‘(#‘∅)) = 𝑁)
21	20	adantl 481	. . 3 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁)) → (𝑃‘(#‘∅)) = 𝑁)
22		0ex 4718	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁)) → ∅ ∈ V)
24		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝑁 ∈ 𝑉)
25	24	ancri 573	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
26	25	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
27	26	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁)) → (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
28		iswlkon 26062	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (∅ ∈ V ∧ 𝑃 ∈ (𝑉 ↑pm (0...0))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)) → (∅(𝑁(𝑉 WalkOn 𝐸)𝑁)𝑃 ↔ (∅(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁 ∧ (𝑃‘(#‘∅)) = 𝑁)))
29	4, 23, 8, 27, 28	syl121anc 1323	. . 3 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁)) → (∅(𝑁(𝑉 WalkOn 𝐸)𝑁)𝑃 ↔ (∅(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁 ∧ (𝑃‘(#‘∅)) = 𝑁)))
30	11, 12, 21, 29	mpbir3and 1238	. 2 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁)) → ∅(𝑁(𝑉 WalkOn 𝐸)𝑁)𝑃)
31	30	ex 449	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) → ∅(𝑁(𝑉 WalkOn 𝐸)𝑁)𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_pm cpm 7745  Fincfn 7841  0cc0 9815  ...cfz 12197  #chash 12979   Walks cwalk 26026   WalkOn cwlkon 26030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-wlk 26036  df-wlkon 26042

This theorem is referenced by:  0trlon  26078  0pthon  26109