Theorem vdgr1a 26433

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1: an edge between two vertices other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdgr1.1	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
vdgr1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
vdgr1.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
vdgr1.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
vdgr1.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑈)
vdgr1a.6	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
vdgr1a.7	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
vdgr1a	⊢ (𝜑 → ((𝑉 VDeg {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})‘𝑈) = 0)

Proof of Theorem vdgr1a

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdgr1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
2		vdgr1.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
3		prex 4836	. . . . 5 ⊢ {𝐵, 𝐶} ∈ V
4		f1osng 6089	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ V) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{{𝐵, 𝐶}})
5	2, 3, 4	sylancl 693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{{𝐵, 𝐶}})
6		f1ofn 6051	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{{𝐵, 𝐶}} → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} Fn {𝐴})
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} Fn {𝐴})
8		snex 4835	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ V)
10		vdgr1.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
11		vdgrval 26423	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} Fn {𝐴} ∧ {𝐴} ∈ V) ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝑉 VDeg {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})‘𝑈) = ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) = {𝑈}})))
12	1, 7, 9, 10, 11	syl31anc 1321	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 VDeg {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})‘𝑈) = ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) = {𝑈}})))
13		hashrabrsn 13022	. . . 4 ⊢ (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}) ∈ ℕ0
14	13	nn0rei 11180	. . 3 ⊢ (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}) ∈ ℝ
15		hashrabrsn 13022	. . . . 5 ⊢ (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℕ0
16	15	nn0rei 11180	. . . 4 ⊢ (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℝ)
18		rexadd 11937	. . 3 ⊢ (((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}) ∈ ℝ ∧ (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℝ) → ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) = {𝑈}})) = ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}) + (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) = {𝑈}})))
19	14, 17, 18	sylancr 694	. 2 ⊢ (𝜑 → ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) = {𝑈}})) = ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}) + (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) = {𝑈}})))
20		vdgr1.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑈)
21	20	necomd 2837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝐵)
22		vdgr1a.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝑈)
23	22	necomd 2837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝐶)
24	21, 23	jca 553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≠ 𝐵 ∧ 𝑈 ≠ 𝐶))
25		neanior 2874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ≠ 𝐵 ∧ 𝑈 ≠ 𝐶) ↔ ¬ (𝑈 = 𝐵 ∨ 𝑈 = 𝐶))
26	24, 25	sylib 207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑈 = 𝐵 ∨ 𝑈 = 𝐶))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐴}) → ¬ (𝑈 = 𝐵 ∨ 𝑈 = 𝐶))
28		elsni 4142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
29	28	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) = ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴))
30		fvsng 6352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ V) → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴) = {𝐵, 𝐶})
31	2, 3, 30	sylancl 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴) = {𝐵, 𝐶})
32	29, 31	sylan9eqr 2666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐴}) → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) = {𝐵, 𝐶})
33	32	eleq2d 2673	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐴}) → (𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) ↔ 𝑈 ∈ {𝐵, 𝐶}))
34		elpri 4145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ {𝐵, 𝐶} → (𝑈 = 𝐵 ∨ 𝑈 = 𝐶))
35	33, 34	syl6bi 242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐴}) → (𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) → (𝑈 = 𝐵 ∨ 𝑈 = 𝐶)))
36	27, 35	mtod 188	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐴}) → ¬ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥))
37	36	ralrimiva 2949	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥))
38		rabeq0 3911	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥))
39	37, 38	sylibr 223	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)} = ∅)
40	39	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}) = (#‘∅))
41		hash0 13019	. . . . 5 ⊢ (#‘∅) = 0
42	40, 41	syl6eq 2660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}) = 0)
43		snidg 4153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ {𝑈})
44	10, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ {𝑈})
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐴}) → 𝑈 ∈ {𝑈})
46		eleq2 2677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) = {𝑈} → (𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) ↔ 𝑈 ∈ {𝑈}))
47	45, 46	syl5ibrcom 236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐴}) → (({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) = {𝑈} → 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)))
48	36, 47	mtod 188	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐴}) → ¬ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) = {𝑈})
49	48	ralrimiva 2949	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) = {𝑈})
50		rabeq0 3911	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) = {𝑈})
51	49, 50	sylibr 223	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)
52	51	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) = {𝑈}}) = (#‘∅))
53	52, 41	syl6eq 2660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) = {𝑈}}) = 0)
54	42, 53	oveq12d 6567	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}) + (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) = {𝑈}})) = (0 + 0))
55		00id 10090	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
56	54, 55	syl6eq 2660	. 2 ⊢ (𝜑 → ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}) + (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) = {𝑈}})) = 0)
57	12, 19, 56	3eqtrd 2648	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 VDeg {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})‘𝑈) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   Fn wfn 5799  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   +_𝑒 cxad 11820  #chash 12979   VDeg cvdg 26420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-hash 12980  df-vdgr 26421

This theorem is referenced by:  eupath2lem3  26506  vdegp1ai  26511