MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  01eq0ring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 01eq0ring 19093
Description: If the zero and the identity element of a ring are the same, the ring is the zero ring. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
0ring.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0 0 = (0g𝑅)
0ring01eq.1 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
01eq0ring ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

Proof of Theorem 01eq0ring
StepHypRef Expression
1 0ring.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 fvex 6113 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
31, 2eqeltri 2684 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
4 hashv01gt1 12995 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → ((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵)))
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 ((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵))
6 0ring.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
71, 6ring0cl 18392 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
8 hasheq0 13015 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ V → ((#‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅))
93, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅)
10 ne0i 3880 . . . . . . . . . 10 ( 0𝐵𝐵 ≠ ∅)
11 eqneqall 2793 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = ∅ → (𝐵 ≠ ∅ → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
1210, 11syl5com 31 . . . . . . . . 9 ( 0𝐵 → (𝐵 = ∅ → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
139, 12syl5bi 231 . . . . . . . 8 ( 0𝐵 → ((#‘𝐵) = 0 → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
147, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → ((#‘𝐵) = 0 → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
1514com12 32 . . . . . 6 ((#‘𝐵) = 0 → (𝑅 ∈ Ring → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
16 eqneqall 2793 . . . . . . 7 ((#‘𝐵) = 1 → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 ))
1716a1d 25 . . . . . 6 ((#‘𝐵) = 1 → (𝑅 ∈ Ring → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
18 0ring01eq.1 . . . . . . . . . . 11 1 = (1r𝑅)
191, 18, 6ring1ne0 18414 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)) → 10 )
2019necomd 2837 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 < (#‘𝐵)) → 01 )
2120ex 449 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (1 < (#‘𝐵) → 01 ))
2221a1i 11 . . . . . . 7 ((#‘𝐵) ≠ 1 → (𝑅 ∈ Ring → (1 < (#‘𝐵) → 01 )))
2322com13 86 . . . . . 6 (1 < (#‘𝐵) → (𝑅 ∈ Ring → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
2415, 17, 233jaoi 1383 . . . . 5 (((#‘𝐵) = 0 ∨ (#‘𝐵) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 )))
255, 24ax-mp 5 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((#‘𝐵) ≠ 1 → 01 ))
2625necon4d 2806 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ( 0 = 1 → (#‘𝐵) = 1))
2726imp 444 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → (#‘𝐵) = 1)
281, 60ring 19091 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (#‘𝐵) = 1) → 𝐵 = { 0 })
2927, 28syldan 486 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3o 1030   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  Vcvv 3173  c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953  #chash 12979  Basecbs 15695  0gc0g 15923  1rcur 18324  Ringcrg 18370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372
This theorem is referenced by:  0ring01eqbi  19094  ldepspr  42056
  Copyright terms: Public domain W3C validator