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Theorem frgraregord013 26645
 Description: If a finite friendship graph is k-regular, then it must have order 0, 1 or 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgraregord013 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))

Proof of Theorem frgraregord013
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashcl 13009 . . . 4 (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
2 ax-1 6 . . . . . 6 (((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ((((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
3 3ioran 1049 . . . . . . 7 (¬ ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) ↔ (¬ (#‘𝑉) = 0 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 1 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 3))
4 df-ne 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑉) ≠ 0 ↔ ¬ (#‘𝑉) = 0)
5 hasheq0 13015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
65necon3bid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) ≠ 0 ↔ 𝑉 ≠ ∅))
76biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) ≠ 0) → 𝑉 ≠ ∅)
8 elnnne0 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑉) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑉) ≠ 0))
9 df-ne 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝑉) ≠ 1 ↔ ¬ (#‘𝑉) = 1)
10 eluz2b3 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((#‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (#‘𝑉) ≠ 1))
11 hash2prde 13109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
12 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑉 FriendGrph 𝐸 ↔ {𝑎, 𝑏} FriendGrph 𝐸))
1312adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 ↔ {𝑎, 𝑏} FriendGrph 𝐸))
14 vex 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 𝑎 ∈ V
15 vex 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 𝑏 ∈ V
1614, 15pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V)
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V))
1817anim1i 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) → ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) ∧ 𝑎𝑏))
1918ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) ∧ 𝑎𝑏))
20 frgra2v 26526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) ∧ 𝑎𝑏) → ¬ {𝑎, 𝑏} FriendGrph 𝐸)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → ¬ {𝑎, 𝑏} FriendGrph 𝐸)
2221pm2.21d 117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → ({𝑎, 𝑏} FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
2313, 22sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
2423com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
2524exlimivv 1847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
2611, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) = 2) → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
2726ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 2 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))
2827com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → ((#‘𝑉) = 2 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))
2928com14 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → ((#‘𝑉) = 2 → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → ((#‘𝑉) = 2 → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
31303imp 1249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) = 2 → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
3231com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((#‘𝑉) = 2 → (((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
33 rusgraprop 26456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 USGrph 𝐸𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾))
34 eluz2 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)))
35 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → 1 ∈ ℝ)
36 2re 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2 ∈ ℝ
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → 2 ∈ ℝ)
38 zre 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ((#‘𝑉) ∈ ℤ → (#‘𝑉) ∈ ℝ)
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → (#‘𝑉) ∈ ℝ)
40 1lt2 11071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1 < 2
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → 1 < 2)
42 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → 2 ≤ (#‘𝑉))
4335, 37, 39, 41, 42ltletrd 10076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 (((#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → 1 < (#‘𝑉))
44433adant1 1072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((2 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (#‘𝑉)) → 1 < (#‘𝑉))
4534, 44sylbi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → 1 < (#‘𝑉))
4645anim2i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 1 < (#‘𝑉)))
4746ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 1 < (#‘𝑉)))
48 vdgn0frgrav2 26551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑣𝑉) → (1 < (#‘𝑉) → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0))
4948impancom 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 1 < (#‘𝑉)) → (𝑣𝑉 → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0))
5049ralrimiv 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 1 < (#‘𝑉)) → ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0)
51 eqeq2 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 (𝐾 = 0 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 ↔ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 0))
5251ralbidv 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (𝐾 = 0 → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 ↔ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 0))
53 r19.26 3046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 (∀𝑣𝑉 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 0 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0) ↔ (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 0 ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0))
54 nne 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 (¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0 ↔ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 0)
5554bicomi 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 0 ↔ ¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0)
5655anbi1i 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 ((((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 0 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0) ↔ (¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0))
57 ancom 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 ((¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0) ↔ (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0 ∧ ¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0))
58 pm3.24 922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 ¬ (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0 ∧ ¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0)
5958bifal 1488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 ((((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0 ∧ ¬ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0) ↔ ⊥)
6056, 57, 593bitri 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ((((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 0 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0) ↔ ⊥)
6160ralbii 2963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 (∀𝑣𝑉 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 0 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0) ↔ ∀𝑣𝑉 ⊥)
62 r19.3rzv 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 (𝑉 ≠ ∅ → (⊥ ↔ ∀𝑣𝑉 ⊥))
63 falim 1489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 (⊥ → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))
6462, 63syl6bir 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣𝑉 ⊥ → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
6564adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ⊥ → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
6665com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 (∀𝑣𝑉 ⊥ → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
6761, 66sylbi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 (∀𝑣𝑉 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 0 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
6853, 67sylbir 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ((∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 0 ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
6968ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 0 → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))
7052, 69syl6bi 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (𝐾 = 0 → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
7170com4t 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) ≠ 0 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
7247, 50, 713syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
7372ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
7473com25 97 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
7574adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
7675com15 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
7776com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
78773ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑉 USGrph 𝐸𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
7933, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
8079impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 0 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
8180impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))
82 frrusgraord 26598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
8382imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
84 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝐾 = 2 → 𝐾 = 2)
85 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝐾 = 2 → (𝐾 − 1) = (2 − 1))
8684, 85oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝐾 = 2 → (𝐾 · (𝐾 − 1)) = (2 · (2 − 1)))
8786oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝐾 = 2 → ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) = ((2 · (2 − 1)) + 1))
88 2m1e1 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (2 − 1) = 1
8988oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (2 · (2 − 1)) = (2 · 1)
90 2t1e2 11053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (2 · 1) = 2
9189, 90eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (2 · (2 − 1)) = 2
9291oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((2 · (2 − 1)) + 1) = (2 + 1)
93 2p1e3 11028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (2 + 1) = 3
9492, 93eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((2 · (2 − 1)) + 1) = 3
9587, 94syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝐾 = 2 → ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) = 3)
9695eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝐾 = 2 → ((#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) ↔ (#‘𝑉) = 3))
97 pm2.21 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (¬ (#‘𝑉) = 3 → ((#‘𝑉) = 3 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
9897adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) → ((#‘𝑉) = 3 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
9998adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 3 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
10099com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((#‘𝑉) = 3 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
10196, 100syl6bi 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝐾 = 2 → ((#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))
10283, 101syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 2 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))
103 frgrareg 26644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
104103imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
10581, 102, 104mpjaod 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)) → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
106105exp32 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
107106com34 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
108107com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (((¬ (#‘𝑉) = 3 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 2) ∧ (#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
109108exp4c 634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (¬ (#‘𝑉) = 2 → ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))
110109com34 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ (#‘𝑉) = 3 → ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (¬ (#‘𝑉) = 2 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))
111110com25 97 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (¬ (#‘𝑉) = 2 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))
112111ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (¬ (#‘𝑉) = 2 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
113112com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (¬ (#‘𝑉) = 2 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
114113com14 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 2 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
1151143imp 1249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 2 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
116115com3r 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (¬ (#‘𝑉) = 2 → (((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
11732, 116pm2.61i 175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
1181173exp 1256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝑉) ∈ (ℤ‘2) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))
11910, 118sylbir 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((#‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (#‘𝑉) ≠ 1) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))
120119ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝑉) ≠ 1 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
1219, 120syl5bir 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
122121com25 97 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
1238, 122sylbir 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑉) ≠ 0) → (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
124123ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑉) ≠ 0 → (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))))
125124com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) ≠ 0 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))))
126125impd 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) ≠ 0) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ≠ ∅ → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
127126com14 94 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑉 ≠ ∅ → ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) ≠ 0) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
1287, 127mpcom 37 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) ≠ 0) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))))
129128ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) ≠ 0 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
130129com14 94 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑉) ≠ 0 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
1314, 130syl5bir 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (¬ (#‘𝑉) = 0 → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ Fin → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
132131com24 93 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (¬ (#‘𝑉) = 0 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))))
1331323imp 1249 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → (¬ (#‘𝑉) = 0 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
134133com25 97 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (¬ (#‘𝑉) = 0 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))))
135134imp 444 . . . . . . . . 9 ((((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → (¬ (#‘𝑉) = 0 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
136135com14 94 . . . . . . . 8 (¬ (#‘𝑉) = 0 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 3 → ((((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
1371363imp 1249 . . . . . . 7 ((¬ (#‘𝑉) = 0 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 1 ∧ ¬ (#‘𝑉) = 3) → ((((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
1383, 137sylbi 206 . . . . . 6 (¬ ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ((((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))
1392, 138pm2.61i 175 . . . . 5 ((((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))
1401393exp1 1275 . . . 4 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3)))))
1411, 140mpcom 37 . . 3 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))
142141com12 32 . 2 (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ Fin → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))))
1431423imp 1249 1 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → ((#‘𝑉) = 0 ∨ (#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ⊥wfal 1480  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  #chash 12979   USGrph cusg 25859   VDeg cvdg 26420   RegUSGrph crusgra 26450   FriendGrph cfrgra 26515 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-reps 13161  df-csh 13386  df-s2 13444  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-phi 15309  df-usgra 25862  df-nbgra 25949  df-wlk 26036  df-trail 26037  df-pth 26038  df-spth 26039  df-wlkon 26042  df-spthon 26045  df-wwlk 26207  df-wwlkn 26208  df-clwwlk 26279  df-clwwlkn 26280  df-2wlkonot 26385  df-2spthonot 26387  df-2spthsot 26388  df-vdgr 26421  df-rgra 26451  df-rusgra 26452  df-frgra 26516 This theorem is referenced by:  frgraregord13  26646
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