Theorem hash2prde 13109

Description: A set of size two is an unordered pair of two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hash2prde	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏

Proof of Theorem hash2prde

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash2pr 13108	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
2		equid 1926	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 = 𝑏
3		vex 3176	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑎 ∈ V
4		vex 3176	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑏 ∈ V
5	3, 4, 4	preqsn 4331	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} ↔ (𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑏 = 𝑏))
6		eqeq2 2621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑉 = {𝑏}))
7		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑉 = {𝑏} → (#‘𝑉) = (#‘{𝑏}))
8		hashsng 13020	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ V → (#‘{𝑏}) = 1)
9	4, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (#‘{𝑏}) = 1
10	7, 9	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 = {𝑏} → (#‘𝑉) = 1)
11		eqeq1 2614	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑉) = 2 → ((#‘𝑉) = 1 ↔ 2 = 1))
12		1ne2 11117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ≠ 2
13		df-ne 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 ≠ 2 ↔ ¬ 1 = 2)
14		pm2.21 119	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ 1 = 2 → (1 = 2 → 𝑎 ≠ 𝑏))
15	13, 14	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 ≠ 2 → (1 = 2 → 𝑎 ≠ 𝑏))
16	12, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 = 2 → 𝑎 ≠ 𝑏)
17	16	eqcoms 2618	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 = 1 → 𝑎 ≠ 𝑏)
18	11, 17	syl6bi 242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑉) = 2 → ((#‘𝑉) = 1 → 𝑎 ≠ 𝑏))
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → ((#‘𝑉) = 1 → 𝑎 ≠ 𝑏))
20	10, 19	syl5com 31	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 = {𝑏} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → 𝑎 ≠ 𝑏))
21	6, 20	syl6bi 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → 𝑎 ≠ 𝑏)))
22	21	com13 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → 𝑎 ≠ 𝑏)))
23	22	imp 444	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → 𝑎 ≠ 𝑏))
24	23	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏))
25	5, 24	sylbir 224	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑏 = 𝑏) → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏))
26	2, 25	mpan2 703	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏))
27		ax-1 6	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 → (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏))
28	26, 27	pm2.61ine 2865	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎 ≠ 𝑏)
29		simpr 476	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
30	28, 29	jca 553	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
31	30	ex 449	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
32	31	2eximdv 1835	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → (∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
33	1, 32	mpd 15	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  {csn 4125  {cpr 4127  ‘cfv 5804  1c1 9816  2c2 10947  #chash 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980

This theorem is referenced by:  hash2exprb  13110  umgredg  25812  usgrarnedg  25913  cusgrarn  25988  frgraregord013  26645  av-frgraregord013  41549