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Theorem frgraregord013 30737
Description: If a finite friendship graph is k-regular, then it must have order 0, 1 or 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgraregord013  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  (
( # `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) )

Proof of Theorem frgraregord013
Dummy variables  a 
b  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashcl 12147 . . . 4  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 V )  e. 
NN0 )
2 ax-1 6 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 )  ->  ( ( ( ( # `  V
)  e.  NN0  /\  V  e.  Fin  /\  V FriendGrph  E )  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  (
( # `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) ) )
3 3ioran 983 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 )  <-> 
( -.  ( # `  V )  =  0  /\  -.  ( # `  V )  =  1  /\  -.  ( # `  V )  =  3 ) )
4 df-ne 2622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  V )  =/=  0  <->  -.  ( # `  V
)  =  0 )
5 hasheq0 12152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  =  0  <->  V  =  (/) ) )
65necon3bid 2637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  =/=  0  <->  V  =/=  (/) ) )
76biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =/=  0 )  ->  V  =/=  (/) )
8 elnnne0 10614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  <->  ( ( # `  V )  e.  NN0  /\  ( # `  V
)  =/=  0 ) )
9 df-ne 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  V )  =/=  1  <->  -.  ( # `  V
)  =  1 )
10 eluz2b3 10949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( ( # `  V
)  e.  NN  /\  ( # `  V )  =/=  1 ) )
11 hash2prde 12200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =  2 )  ->  E. a E. b ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } ) )
12 breq1 4316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( V  =  { a ,  b }  ->  ( V FriendGrph  E  <->  { a ,  b } FriendGrph  E ) )
1312adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  ( V FriendGrph  E  <->  { a ,  b } FriendGrph  E ) )
14 vex 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  a  e. 
_V
15 vex 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  b  e. 
_V
1614, 15pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( a  e.  _V  /\  b  e.  _V )
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( V  =  { a ,  b }  ->  (
a  e.  _V  /\  b  e.  _V )
)
1817anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( V  =  { a ,  b }  /\  a  =/=  b )  -> 
( ( a  e. 
_V  /\  b  e.  _V )  /\  a  =/=  b ) )
1918ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  ( ( a  e.  _V  /\  b  e.  _V )  /\  a  =/=  b ) )
20 frgra2v 30617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( a  e.  _V  /\  b  e.  _V )  /\  a  =/=  b
)  ->  -.  { a ,  b } FriendGrph  E )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  -.  { a ,  b } FriendGrph  E )
2221pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  ( { a ,  b } FriendGrph  E  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  3  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
2313, 22sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  3  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
2423com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
2524exlimivv 1689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( E. a E. b ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
2611, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =  2 )  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
2726ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  =  2  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( -.  ( # `
 V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) ) )
2827com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( ( # `
 V )  =  2  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( -.  ( # `
 V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) ) )
2928com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( ( # `  V )  =  2  ->  ( V  e. 
Fin  ->  ( -.  ( # `
 V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) ) )
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  (
( # `  V )  =  2  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  3  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) ) ) )
31303imp 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  V FriendGrph  E  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( # `  V
)  =  2  -> 
( V  e.  Fin  ->  ( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
3231com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  V )  =  2  ->  (
( ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  V FriendGrph  E  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( V  e.  Fin  ->  ( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
33 rusgraprop 30572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V USGrph  E  /\  K  e.  NN0  /\  A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K ) )
34 eluz2 10888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  ( # `  V )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) ) )
35 1red 9422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  1  e.  RR )
36 2re 10412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  2  e.  RR
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  2  e.  RR )
38 zre 10671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  ( (
# `  V )  e.  ZZ  ->  ( # `  V
)  e.  RR )
3938adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  ( # `
 V )  e.  RR )
40 1lt2 10509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  1  <  2
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  1  <  2 )
42 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  2  <_  ( # `  V
) )
4335, 37, 39, 41, 42ltletrd 9552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  1  <  ( # `  V
) )
44433adant1 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( # `  V )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  1  <  ( # `  V
) )
4534, 44sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  1  <  ( # `  V ) )
4645anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `
 V ) ) )
4746ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `
 V ) ) )
48 vdgn0frgrav2 30643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  v  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  0 ) )
4948impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  (
v  e.  V  -> 
( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0 ) )
5049ralrimiv 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  0 )
51 eqeq2 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( K  =  0  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  0 ) )
5251ralbidv 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( K  =  0  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  <->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0 ) )
53 r19.26 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( A. v  e.  V  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  <->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  0  /\ 
A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0 ) )
54 nne 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59  |-  ( -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  0 )
5554bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  0  <->  -.  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  0 )
5655anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( ( ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  <->  ( -.  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0  /\  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0 ) )
57 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( ( -.  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =/=  0  /\  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0 )  <->  ( (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0  /\  -.  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =/=  0 ) )
58 pm3.24 877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58  |-  -.  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0  /\  -.  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)
5958bifal 1382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( ( ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0  /\  -.  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  <-> F.  )
6056, 57, 593bitri 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  ( ( ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  <-> F.  )
6160ralbii 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( A. v  e.  V  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  <->  A. v  e.  V F.  )
62 r19.3rzv 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( F.  <->  A. v  e.  V F.  ) )
63 falim 1383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58  |-  ( F. 
->  ( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) )
6462, 63syl6bir 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( A. v  e.  V F.  ->  ( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
6564adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( A. v  e.  V F.  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
6665com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( A. v  e.  V F.  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
6761, 66sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( A. v  e.  V  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( # `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) ) )
6853, 67sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0  /\  A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( # `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) ) )
6968ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  0  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  0  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) )
7052, 69syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( K  =  0  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) )
7170com4t 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( (
# `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) ) ) ) )
7247, 50, 713syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( (
# `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) ) ) ) )
7372ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( K  =  0  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
7473com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
7574adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( -.  ( # `  V )  =  3  /\  -.  ( # `  V )  =  2 )  /\  ( # `  V )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
7675com15 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
7776com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
78773ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
7933, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( K  =  0  ->  ( ( ( -.  ( # `  V
)  =  3  /\ 
-.  ( # `  V
)  =  2 )  /\  ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
8079impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( K  =  0  ->  ( ( ( -.  ( # `  V
)  =  3  /\ 
-.  ( # `  V
)  =  2 )  /\  ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) )
8180impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  ->  ( K  =  0  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) )
82 frrusgraord 30690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( # `  V
)  =  ( ( K  x.  ( K  -  1 ) )  +  1 ) ) )
8382imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  ->  ( # `  V
)  =  ( ( K  x.  ( K  -  1 ) )  +  1 ) )
84 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( K  =  2  ->  K  =  2 )
85 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( K  =  2  ->  ( K  -  1 )  =  ( 2  -  1 ) )
8684, 85oveq12d 6130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( K  =  2  ->  ( K  x.  ( K  -  1 ) )  =  ( 2  x.  ( 2  -  1 ) ) )
8786oveq1d 6127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( K  =  2  ->  (
( K  x.  ( K  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  ( 2  -  1 ) )  +  1 ) )
88 2m1e1 10457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( 2  -  1 )  =  1
8988oveq2i 6123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( 2  x.  ( 2  -  1 ) )  =  ( 2  x.  1 )
90 2t1e2 10491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
9189, 90eqtri 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( 2  x.  ( 2  -  1 ) )  =  2
9291oveq1i 6122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( 2  x.  ( 2  -  1 ) )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
93 2p1e3 10466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( 2  +  1 )  =  3
9492, 93eqtri 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( 2  x.  ( 2  -  1 ) )  +  1 )  =  3
9587, 94syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( K  =  2  ->  (
( K  x.  ( K  -  1 ) )  +  1 )  =  3 )
9695eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( K  =  2  ->  (
( # `  V )  =  ( ( K  x.  ( K  - 
1 ) )  +  1 )  <->  ( # `  V
)  =  3 ) )
97 pm2.21 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( -.  ( # `  V
)  =  3  -> 
( ( # `  V
)  =  3  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
9897adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( -.  ( # `  V
)  =  3  /\ 
-.  ( # `  V
)  =  2 )  ->  ( ( # `  V )  =  3  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
9998adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( -.  ( # `  V )  =  3  /\  -.  ( # `  V )  =  2 )  /\  ( # `  V )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )  ->  ( ( # `  V )  =  3  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
10099com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( (
# `  V )  =  3  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
10196, 100syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( K  =  2  ->  (
( # `  V )  =  ( ( K  x.  ( K  - 
1 ) )  +  1 )  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) )
10283, 101syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  ->  ( K  =  2  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) )
103 frgrareg 30736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
104103imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) )
10581, 102, 104mpjaod 381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  ->  ( (
( -.  ( # `  V )  =  3  /\  -.  ( # `  V )  =  2 )  /\  ( # `  V )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
106105exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  -> 
( ( ( -.  ( # `  V
)  =  3  /\ 
-.  ( # `  V
)  =  2 )  /\  ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) )
107106com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( (
( -.  ( # `  V )  =  3  /\  -.  ( # `  V )  =  2 )  /\  ( # `  V )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) )
108107com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) )
109108exp4c 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( # `  V
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( -.  ( # `  V )  =  2  ->  ( ( # `  V )  e.  (
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110109com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( # `  V
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( ( # `  V
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2 )  ->  ( -.  ( # `  V
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111110com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( # `
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112111ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( # `  V )  e.  (
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113112com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( ( # `
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114113com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
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1151143imp 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  V
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116115com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( -.  ( # `  V
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11732, 116pm2.61i 164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  V
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2 )  /\  V FriendGrph  E  /\  V  =/=  (/) )  -> 
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1181173exp 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( -.  ( # `  V
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11910, 118sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  V
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120119ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( ( # `
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 V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  -> 
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1219, 120syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( -.  ( # `  V )  =  1  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V
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1238, 122sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  V
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124123ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 V )  =/=  0  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( -.  ( # `
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125124com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( ( # `
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126125impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `
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127126com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `
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129128ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
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130129com14 88 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
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 V )  =  1  ->  ( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V
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( ( # `  V
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1371363imp 1181 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( # `  V
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1401393exp1 1203 . . . 4  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
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1411, 140mpcom 36 . . 3  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  -> 
( ( # `  V
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142141com12 31 . 2  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  e. 
Fin  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
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1431423imp 1181 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  (
( # `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    = wceq 1369   F. wfal 1374   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2736   _Vcvv 2993   (/)c0 3658   {cpr 3900   <.cop 3904   class class class wbr 4313   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Fincfn 7331   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306    x. cmul 9308    < clt 9439    <_ cle 9440    - cmin 9616   NNcn 10343   2c2 10392   3c3 10393   NN0cn0 10600   ZZcz 10667   ZZ>=cuz 10882   #chash 12124   USGrph cusg 23286   VDeg cvdg 23585   RegUSGrph crusgra 30566   FriendGrph cfrgra 30606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-ot 3907  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-disj 4284  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-ec 7124  df-qs 7128  df-map 7237  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-rp 11013  df-xadd 11111  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-mod 11730  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-word 12250  df-lsw 12251  df-concat 12252  df-s1 12253  df-substr 12254  df-reps 12257  df-csh 12447  df-s2 12496  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-sum 13185  df-dvds 13557  df-gcd 13712  df-prm 13785  df-phi 13862  df-usgra 23288  df-nbgra 23354  df-wlk 23437  df-trail 23438  df-pth 23439  df-spth 23440  df-wlkon 23443  df-spthon 23446  df-vdgr 23586  df-wwlk 30339  df-wwlkn 30340  df-2wlkonot 30403  df-2spthonot 30405  df-2spthsot 30406  df-clwwlk 30442  df-clwwlkn 30443  df-rgra 30567  df-rusgra 30568  df-frgra 30607
This theorem is referenced by:  frgraregord13  30738
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