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Theorem frgraregord013 25260
Description: If a finite friendship graph is k-regular, then it must have order 0, 1 or 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgraregord013  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  (
( # `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) )

Proof of Theorem frgraregord013
Dummy variables  a 
b  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashcl 12349 . . . 4  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 V )  e. 
NN0 )
2 ax-1 6 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 )  ->  ( ( ( ( # `  V
)  e.  NN0  /\  V  e.  Fin  /\  V FriendGrph  E )  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  (
( # `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) ) )
3 3ioran 989 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 )  <-> 
( -.  ( # `  V )  =  0  /\  -.  ( # `  V )  =  1  /\  -.  ( # `  V )  =  3 ) )
4 df-ne 2589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  V )  =/=  0  <->  -.  ( # `  V
)  =  0 )
5 hasheq0 12355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  =  0  <->  V  =  (/) ) )
65necon3bid 2650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  =/=  0  <->  V  =/=  (/) ) )
76biimpa 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =/=  0 )  ->  V  =/=  (/) )
8 elnnne0 10744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  <->  ( ( # `  V )  e.  NN0  /\  ( # `  V
)  =/=  0 ) )
9 df-ne 2589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  V )  =/=  1  <->  -.  ( # `  V
)  =  1 )
10 eluz2b3 11092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( ( # `  V
)  e.  NN  /\  ( # `  V )  =/=  1 ) )
11 hash2prde 12439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =  2 )  ->  E. a E. b ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } ) )
12 breq1 4383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( V  =  { a ,  b }  ->  ( V FriendGrph  E  <->  { a ,  b } FriendGrph  E ) )
1312adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  ( V FriendGrph  E  <->  { a ,  b } FriendGrph  E ) )
14 vex 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  a  e. 
_V
15 vex 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  b  e. 
_V
1614, 15pm3.2i 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( a  e.  _V  /\  b  e.  _V )
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( V  =  { a ,  b }  ->  (
a  e.  _V  /\  b  e.  _V )
)
1817anim1i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( V  =  { a ,  b }  /\  a  =/=  b )  -> 
( ( a  e. 
_V  /\  b  e.  _V )  /\  a  =/=  b ) )
1918ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  ( ( a  e.  _V  /\  b  e.  _V )  /\  a  =/=  b ) )
20 frgra2v 25141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( a  e.  _V  /\  b  e.  _V )  /\  a  =/=  b
)  ->  -.  { a ,  b } FriendGrph  E )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  -.  { a ,  b } FriendGrph  E )
2221pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  ( { a ,  b } FriendGrph  E  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  3  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
2313, 22sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  3  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
2423com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
2524exlimivv 1738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( E. a E. b ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
2611, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =  2 )  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
2726ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  =  2  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( -.  ( # `
 V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) ) )
2827com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( ( # `
 V )  =  2  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( -.  ( # `
 V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) ) )
2928com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( ( # `  V )  =  2  ->  ( V  e. 
Fin  ->  ( -.  ( # `
 V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) ) )
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  (
( # `  V )  =  2  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  3  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) ) ) )
31303imp 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  V FriendGrph  E  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( # `  V
)  =  2  -> 
( V  e.  Fin  ->  ( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
3231com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  V )  =  2  ->  (
( ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  V FriendGrph  E  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( V  e.  Fin  ->  ( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
33 rusgraprop 25071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V USGrph  E  /\  K  e.  NN0  /\  A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K ) )
34 eluz2 11025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  ( # `  V )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) ) )
35 1red 9540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  1  e.  RR )
36 2re 10540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  2  e.  RR
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  2  e.  RR )
38 zre 10803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  ( (
# `  V )  e.  ZZ  ->  ( # `  V
)  e.  RR )
3938adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  ( # `
 V )  e.  RR )
40 1lt2 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  1  <  2
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  1  <  2 )
42 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  2  <_  ( # `  V
) )
4335, 37, 39, 41, 42ltletrd 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  1  <  ( # `  V
) )
44433adant1 1012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( # `  V )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  1  <  ( # `  V
) )
4534, 44sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  1  <  ( # `  V ) )
4645anim2i 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `
 V ) ) )
4746ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `
 V ) ) )
48 vdgn0frgrav2 25166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  v  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  0 ) )
4948impancom 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  (
v  e.  V  -> 
( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0 ) )
5049ralrimiv 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  0 )
51 eqeq2 2407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( K  =  0  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  0 ) )
5251ralbidv 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( K  =  0  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  <->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0 ) )
53 r19.26 2922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( A. v  e.  V  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  <->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  0  /\ 
A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0 ) )
54 nne 2593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59  |-  ( -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  0 )
5554bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  0  <->  -.  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  0 )
5655anbi1i 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( ( ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  <->  ( -.  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0  /\  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0 ) )
57 ancom 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( ( -.  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =/=  0  /\  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0 )  <->  ( (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0  /\  -.  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =/=  0 ) )
58 pm3.24 880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58  |-  -.  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0  /\  -.  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)
5958bifal 1412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( ( ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0  /\  -.  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  <-> F.  )
6056, 57, 593bitri 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  ( ( ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  <-> F.  )
6160ralbii 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( A. v  e.  V  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  <->  A. v  e.  V F.  )
62 r19.3rzv 3851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( F.  <->  A. v  e.  V F.  ) )
63 falim 1413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58  |-  ( F. 
->  ( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) )
6462, 63syl6bir 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( A. v  e.  V F.  ->  ( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
6564adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( A. v  e.  V F.  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
6665com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( A. v  e.  V F.  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
6761, 66sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( A. v  e.  V  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( # `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) ) )
6853, 67sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0  /\  A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( # `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) ) )
6968ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  0  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  0  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) )
7052, 69syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( K  =  0  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) )
7170com4t 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( (
# `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) ) ) ) )
7247, 50, 713syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( (
# `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) ) ) ) )
7372ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( K  =  0  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
7473com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
7574adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( -.  ( # `  V )  =  3  /\  -.  ( # `  V )  =  2 )  /\  ( # `  V )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
7675com15 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
7776com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
78773ad2ant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
7933, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( K  =  0  ->  ( ( ( -.  ( # `  V
)  =  3  /\ 
-.  ( # `  V
)  =  2 )  /\  ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
8079impcom 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( K  =  0  ->  ( ( ( -.  ( # `  V
)  =  3  /\ 
-.  ( # `  V
)  =  2 )  /\  ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) )
8180impcom 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  ->  ( K  =  0  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) )
82 frrusgraord 25213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( # `  V
)  =  ( ( K  x.  ( K  -  1 ) )  +  1 ) ) )
8382imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  ->  ( # `  V
)  =  ( ( K  x.  ( K  -  1 ) )  +  1 ) )
84 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( K  =  2  ->  K  =  2 )
85 oveq1 6221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( K  =  2  ->  ( K  -  1 )  =  ( 2  -  1 ) )
8684, 85oveq12d 6232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( K  =  2  ->  ( K  x.  ( K  -  1 ) )  =  ( 2  x.  ( 2  -  1 ) ) )
8786oveq1d 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( K  =  2  ->  (
( K  x.  ( K  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  ( 2  -  1 ) )  +  1 ) )
88 2m1e1 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( 2  -  1 )  =  1
8988oveq2i 6225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( 2  x.  ( 2  -  1 ) )  =  ( 2  x.  1 )
90 2t1e2 10619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
9189, 90eqtri 2421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( 2  x.  ( 2  -  1 ) )  =  2
9291oveq1i 6224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( 2  x.  ( 2  -  1 ) )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
93 2p1e3 10594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( 2  +  1 )  =  3
9492, 93eqtri 2421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( 2  x.  ( 2  -  1 ) )  +  1 )  =  3
9587, 94syl6eq 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( K  =  2  ->  (
( K  x.  ( K  -  1 ) )  +  1 )  =  3 )
9695eqeq2d 2406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( K  =  2  ->  (
( # `  V )  =  ( ( K  x.  ( K  - 
1 ) )  +  1 )  <->  ( # `  V
)  =  3 ) )
97 pm2.21 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( -.  ( # `  V
)  =  3  -> 
( ( # `  V
)  =  3  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
9897adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( -.  ( # `  V
)  =  3  /\ 
-.  ( # `  V
)  =  2 )  ->  ( ( # `  V )  =  3  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
9998adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( -.  ( # `  V )  =  3  /\  -.  ( # `  V )  =  2 )  /\  ( # `  V )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )  ->  ( ( # `  V )  =  3  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
10099com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( (
# `  V )  =  3  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
10196, 100syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( K  =  2  ->  (
( # `  V )  =  ( ( K  x.  ( K  - 
1 ) )  +  1 )  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) )
10283, 101syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  ->  ( K  =  2  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) )
103 frgrareg 25259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
104103imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) )
10581, 102, 104mpjaod 379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  ->  ( (
( -.  ( # `  V )  =  3  /\  -.  ( # `  V )  =  2 )  /\  ( # `  V )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
106105exp32 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  -> 
( ( ( -.  ( # `  V
)  =  3  /\ 
-.  ( # `  V
)  =  2 )  /\  ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) )
107106com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( (
( -.  ( # `  V )  =  3  /\  -.  ( # `  V )  =  2 )  /\  ( # `  V )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) )
108107com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) )
109108exp4c 606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( # `  V
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( -.  ( # `  V )  =  2  ->  ( ( # `  V )  e.  (
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110109com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( # `  V
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( ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  ( -.  ( # `  V
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111110com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( # `
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112111ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( # `  V )  e.  (
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113112com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( ( # `
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114113com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
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1151143imp 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  V
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2 )  /\  V FriendGrph  E  /\  V  =/=  (/) )  -> 
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116115com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( -.  ( # `  V
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11732, 116pm2.61i 164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  V
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2 )  /\  V FriendGrph  E  /\  V  =/=  (/) )  -> 
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1181173exp 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( -.  ( # `  V
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11910, 118sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  V
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120119ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( ( # `
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 V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  -> 
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1219, 120syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( -.  ( # `  V )  =  1  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V
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122121com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
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1238, 122sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  V
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124123ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 V )  =/=  0  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( -.  ( # `
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125124com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( ( # `
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126125impd 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `
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127126com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `
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1287, 127mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =/=  0 )  -> 
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129128ex 432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
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130129com14 88 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
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 V )  =  1  ->  ( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V
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( ( # `  V
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1401393exp1 1210 . . . 4  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
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1411, 140mpcom 36 . . 3  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  -> 
( ( # `  V
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142141com12 31 . 2  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  e. 
Fin  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) )
1431423imp 1188 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  (
( # `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    \/ w3o 970    /\ w3a 971    = wceq 1399   F. wfal 1404   E.wex 1627    e. wcel 1836    =/= wne 2587   A.wral 2742   _Vcvv 3047   (/)c0 3724   {cpr 3959   <.cop 3963   class class class wbr 4380   ` cfv 5509  (class class class)co 6214   Fincfn 7453   RRcr 9420   0cc0 9421   1c1 9422    + caddc 9424    x. cmul 9426    < clt 9557    <_ cle 9558    - cmin 9736   NNcn 10470   2c2 10520   3c3 10521   NN0cn0 10730   ZZcz 10799   ZZ>=cuz 11019   #chash 12326   USGrph cusg 24472   VDeg cvdg 25035   RegUSGrph crusgra 25065   FriendGrph cfrgra 25130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-inf2 7990  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498  ax-pre-sup 9499
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-ot 3966  df-uni 4177  df-int 4213  df-iun 4258  df-disj 4352  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-se 4766  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-isom 5518  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-om 6618  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-1o 7066  df-2o 7067  df-oadd 7070  df-er 7247  df-ec 7249  df-qs 7253  df-map 7358  df-pm 7359  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-fin 7457  df-sup 7834  df-oi 7868  df-card 8251  df-cda 8479  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-div 10142  df-nn 10471  df-2 10529  df-3 10530  df-n0 10731  df-z 10800  df-uz 11020  df-rp 11158  df-xadd 11258  df-ico 11474  df-fz 11612  df-fzo 11736  df-fl 11847  df-mod 11916  df-seq 12030  df-exp 12089  df-hash 12327  df-word 12465  df-lsw 12466  df-concat 12467  df-s1 12468  df-substr 12469  df-reps 12472  df-csh 12690  df-s2 12743  df-cj 12953  df-re 12954  df-im 12955  df-sqrt 13089  df-abs 13090  df-clim 13332  df-sum 13530  df-dvds 14008  df-gcd 14166  df-prm 14239  df-phi 14317  df-usgra 24475  df-nbgra 24562  df-wlk 24650  df-trail 24651  df-pth 24652  df-spth 24653  df-wlkon 24656  df-spthon 24659  df-wwlk 24821  df-wwlkn 24822  df-clwwlk 24893  df-clwwlkn 24894  df-2wlkonot 25000  df-2spthonot 25002  df-2spthsot 25003  df-vdgr 25036  df-rgra 25066  df-rusgra 25067  df-frgra 25131
This theorem is referenced by:  frgraregord13  25261
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