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Theorem frgraregord013 30654
Description: If a finite friendship graph is k-regular, then it must have order 0, 1 or 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgraregord013  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  (
( # `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) )

Proof of Theorem frgraregord013
Dummy variables  a 
b  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashcl 12118 . . . 4  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 V )  e. 
NN0 )
2 ax-1 6 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 )  ->  ( ( ( ( # `  V
)  e.  NN0  /\  V  e.  Fin  /\  V FriendGrph  E )  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  (
( # `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) ) )
3 3ioran 983 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 )  <-> 
( -.  ( # `  V )  =  0  /\  -.  ( # `  V )  =  1  /\  -.  ( # `  V )  =  3 ) )
4 df-ne 2602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  V )  =/=  0  <->  -.  ( # `  V
)  =  0 )
5 hasheq0 12123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  =  0  <->  V  =  (/) ) )
65necon3bid 2637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  =/=  0  <->  V  =/=  (/) ) )
76biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =/=  0 )  ->  V  =/=  (/) )
8 elnnne0 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  <->  ( ( # `  V )  e.  NN0  /\  ( # `  V
)  =/=  0 ) )
9 df-ne 2602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  V )  =/=  1  <->  -.  ( # `  V
)  =  1 )
10 eluz2b3 10920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( ( # `  V
)  e.  NN  /\  ( # `  V )  =/=  1 ) )
11 hash2prde 12171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =  2 )  ->  E. a E. b ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } ) )
12 breq1 4288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( V  =  { a ,  b }  ->  ( V FriendGrph  E  <->  { a ,  b } FriendGrph  E ) )
1312adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  ( V FriendGrph  E  <->  { a ,  b } FriendGrph  E ) )
14 vex 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  a  e. 
_V
15 vex 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  b  e. 
_V
1614, 15pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( a  e.  _V  /\  b  e.  _V )
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( V  =  { a ,  b }  ->  (
a  e.  _V  /\  b  e.  _V )
)
1817anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( V  =  { a ,  b }  /\  a  =/=  b )  -> 
( ( a  e. 
_V  /\  b  e.  _V )  /\  a  =/=  b ) )
1918ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  ( ( a  e.  _V  /\  b  e.  _V )  /\  a  =/=  b ) )
20 frgra2v 30534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( a  e.  _V  /\  b  e.  _V )  /\  a  =/=  b
)  ->  -.  { a ,  b } FriendGrph  E )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  -.  { a ,  b } FriendGrph  E )
2221pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  ( { a ,  b } FriendGrph  E  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  3  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
2313, 22sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  3  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
2423com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
2524exlimivv 1689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( E. a E. b ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
2611, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =  2 )  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
2726ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  =  2  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( -.  ( # `
 V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) ) )
2827com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( ( # `
 V )  =  2  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( -.  ( # `
 V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) ) )
2928com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( ( # `  V )  =  2  ->  ( V  e. 
Fin  ->  ( -.  ( # `
 V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) ) )
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  (
( # `  V )  =  2  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  3  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) ) ) )
31303imp 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  V FriendGrph  E  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( # `  V
)  =  2  -> 
( V  e.  Fin  ->  ( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
3231com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  V )  =  2  ->  (
( ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  V FriendGrph  E  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( V  e.  Fin  ->  ( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
33 rusgraprop 30489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V USGrph  E  /\  K  e.  NN0  /\  A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K ) )
34 eluz2 10859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  ( # `  V )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) ) )
35 1red 9393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  1  e.  RR )
36 2re 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  2  e.  RR
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  2  e.  RR )
38 zre 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  ( (
# `  V )  e.  ZZ  ->  ( # `  V
)  e.  RR )
3938adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  ( # `
 V )  e.  RR )
40 1lt2 10480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  1  <  2
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  1  <  2 )
42 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  2  <_  ( # `  V
) )
4335, 37, 39, 41, 42ltletrd 9523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  1  <  ( # `  V
) )
44433adant1 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( # `  V )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  1  <  ( # `  V
) )
4534, 44sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  1  <  ( # `  V ) )
4645anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `
 V ) ) )
4746ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `
 V ) ) )
48 vdgn0frgrav2 30560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  v  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  0 ) )
4948impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  (
v  e.  V  -> 
( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0 ) )
5049ralrimiv 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  0 )
51 eqeq2 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( K  =  0  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  0 ) )
5251ralbidv 2729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( K  =  0  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  <->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0 ) )
53 r19.26 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( A. v  e.  V  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  <->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  0  /\ 
A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0 ) )
54 nne 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59  |-  ( -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  0 )
5554bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  0  <->  -.  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  0 )
5655anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( ( ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  <->  ( -.  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0  /\  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0 ) )
57 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( ( -.  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =/=  0  /\  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0 )  <->  ( (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0  /\  -.  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =/=  0 ) )
58 pm3.24 877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58  |-  -.  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0  /\  -.  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)
5958bifal 1382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( ( ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0  /\  -.  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  <-> F.  )
6056, 57, 593bitri 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  ( ( ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  <-> F.  )
6160ralbii 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( A. v  e.  V  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  <->  A. v  e.  V F.  )
62 r19.3rzv 3766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( F.  <->  A. v  e.  V F.  ) )
63 falim 1383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58  |-  ( F. 
->  ( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) )
6462, 63syl6bir 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( A. v  e.  V F.  ->  ( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
6564adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( A. v  e.  V F.  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
6665com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( A. v  e.  V F.  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
6761, 66sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( A. v  e.  V  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( # `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) ) )
6853, 67sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0  /\  A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( # `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) ) )
6968ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  0  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  0  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) )
7052, 69syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( K  =  0  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) )
7170com4t 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( (
# `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) ) ) ) )
7247, 50, 713syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( (
# `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) ) ) ) )
7372ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( K  =  0  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
7473com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
7574adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( -.  ( # `  V )  =  3  /\  -.  ( # `  V )  =  2 )  /\  ( # `  V )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
7675com15 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
7776com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
78773ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
7933, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( K  =  0  ->  ( ( ( -.  ( # `  V
)  =  3  /\ 
-.  ( # `  V
)  =  2 )  /\  ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
8079impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( K  =  0  ->  ( ( ( -.  ( # `  V
)  =  3  /\ 
-.  ( # `  V
)  =  2 )  /\  ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) )
8180impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  ->  ( K  =  0  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) )
82 frrusgraord 30607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( # `  V
)  =  ( ( K  x.  ( K  -  1 ) )  +  1 ) ) )
8382imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  ->  ( # `  V
)  =  ( ( K  x.  ( K  -  1 ) )  +  1 ) )
84 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( K  =  2  ->  K  =  2 )
85 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( K  =  2  ->  ( K  -  1 )  =  ( 2  -  1 ) )
8684, 85oveq12d 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( K  =  2  ->  ( K  x.  ( K  -  1 ) )  =  ( 2  x.  ( 2  -  1 ) ) )
8786oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( K  =  2  ->  (
( K  x.  ( K  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  ( 2  -  1 ) )  +  1 ) )
88 2m1e1 10428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( 2  -  1 )  =  1
8988oveq2i 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( 2  x.  ( 2  -  1 ) )  =  ( 2  x.  1 )
90 2t1e2 10462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
9189, 90eqtri 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( 2  x.  ( 2  -  1 ) )  =  2
9291oveq1i 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( 2  x.  ( 2  -  1 ) )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
93 2p1e3 10437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( 2  +  1 )  =  3
9492, 93eqtri 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( 2  x.  ( 2  -  1 ) )  +  1 )  =  3
9587, 94syl6eq 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( K  =  2  ->  (
( K  x.  ( K  -  1 ) )  +  1 )  =  3 )
9695eqeq2d 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( K  =  2  ->  (
( # `  V )  =  ( ( K  x.  ( K  - 
1 ) )  +  1 )  <->  ( # `  V
)  =  3 ) )
97 pm2.21 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( -.  ( # `  V
)  =  3  -> 
( ( # `  V
)  =  3  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
9897adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( -.  ( # `  V
)  =  3  /\ 
-.  ( # `  V
)  =  2 )  ->  ( ( # `  V )  =  3  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
9998adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( -.  ( # `  V )  =  3  /\  -.  ( # `  V )  =  2 )  /\  ( # `  V )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )  ->  ( ( # `  V )  =  3  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
10099com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( (
# `  V )  =  3  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
10196, 100syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( K  =  2  ->  (
( # `  V )  =  ( ( K  x.  ( K  - 
1 ) )  +  1 )  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) )
10283, 101syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  ->  ( K  =  2  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) )
103 frgrareg 30653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
104103imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) )
10581, 102, 104mpjaod 381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  ->  ( (
( -.  ( # `  V )  =  3  /\  -.  ( # `  V )  =  2 )  /\  ( # `  V )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
106105exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  -> 
( ( ( -.  ( # `  V
)  =  3  /\ 
-.  ( # `  V
)  =  2 )  /\  ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) )
107106com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( (
( -.  ( # `  V )  =  3  /\  -.  ( # `  V )  =  2 )  /\  ( # `  V )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) )
108107com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) )
109108exp4c 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( # `  V
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( -.  ( # `  V )  =  2  ->  ( ( # `  V )  e.  (
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110109com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( # `  V
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( ( # `  V
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2 )  ->  ( -.  ( # `  V
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111110com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( # `
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112111ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( # `  V )  e.  (
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113112com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( ( # `
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114113com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
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116115com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( -.  ( # `  V
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11732, 116pm2.61i 164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  V
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2 )  /\  V FriendGrph  E  /\  V  =/=  (/) )  -> 
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1181173exp 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( -.  ( # `  V
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11910, 118sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  V
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120119ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( ( # `
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1219, 120syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( -.  ( # `  V )  =  1  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V
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1238, 122sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  V
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124123ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( ( # `
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125124com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
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126125impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
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1287, 127mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =/=  0 )  -> 
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129128ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
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130129com14 88 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
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 V )  =  1  ->  ( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V
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( ( # `  V
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1371363imp 1181 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( # `  V
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# `  V )  e.  NN0  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
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1411, 140mpcom 36 . . 3  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  -> 
( ( # `  V
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142141com12 31 . 2  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  e. 
Fin  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) )
1431423imp 1181 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  (
( # `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    = wceq 1369   F. wfal 1374   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2600   A.wral 2709   _Vcvv 2966   (/)c0 3630   {cpr 3872   <.cop 3876   class class class wbr 4285   ` cfv 5411  (class class class)co 6086   Fincfn 7302   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587   NNcn 10314   2c2 10363   3c3 10364   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   #chash 12095   USGrph cusg 23209   VDeg cvdg 23508   RegUSGrph crusgra 30483   FriendGrph cfrgra 30523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-ot 3879  df-uni 4085  df-int 4122  df-iun 4166  df-disj 4256  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-se 4672  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-isom 5420  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-ec 7095  df-qs 7099  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-xadd 11082  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-word 12221  df-lsw 12222  df-concat 12223  df-s1 12224  df-substr 12225  df-reps 12228  df-csh 12418  df-s2 12467  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-prm 13756  df-phi 13833  df-usgra 23211  df-nbgra 23277  df-wlk 23360  df-trail 23361  df-pth 23362  df-spth 23363  df-wlkon 23366  df-spthon 23369  df-vdgr 23509  df-wwlk 30256  df-wwlkn 30257  df-2wlkonot 30320  df-2spthonot 30322  df-2spthsot 30323  df-clwwlk 30359  df-clwwlkn 30360  df-rgra 30484  df-rusgra 30485  df-frgra 30524
This theorem is referenced by:  frgraregord13  30655
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