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Theorem frgraregord013 24892
Description: If a finite friendship graph is k-regular, then it must have order 0, 1 or 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgraregord013  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  (
( # `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) )

Proof of Theorem frgraregord013
Dummy variables  a 
b  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashcl 12397 . . . 4  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 V )  e. 
NN0 )
2 ax-1 6 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 )  ->  ( ( ( ( # `  V
)  e.  NN0  /\  V  e.  Fin  /\  V FriendGrph  E )  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  (
( # `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) ) )
3 3ioran 991 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 )  <-> 
( -.  ( # `  V )  =  0  /\  -.  ( # `  V )  =  1  /\  -.  ( # `  V )  =  3 ) )
4 df-ne 2664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  V )  =/=  0  <->  -.  ( # `  V
)  =  0 )
5 hasheq0 12402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  =  0  <->  V  =  (/) ) )
65necon3bid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  =/=  0  <->  V  =/=  (/) ) )
76biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =/=  0 )  ->  V  =/=  (/) )
8 elnnne0 10810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  <->  ( ( # `  V )  e.  NN0  /\  ( # `  V
)  =/=  0 ) )
9 df-ne 2664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  V )  =/=  1  <->  -.  ( # `  V
)  =  1 )
10 eluz2b3 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( ( # `  V
)  e.  NN  /\  ( # `  V )  =/=  1 ) )
11 hash2prde 12483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =  2 )  ->  E. a E. b ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } ) )
12 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( V  =  { a ,  b }  ->  ( V FriendGrph  E  <->  { a ,  b } FriendGrph  E ) )
1312adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  ( V FriendGrph  E  <->  { a ,  b } FriendGrph  E ) )
14 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  a  e. 
_V
15 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  b  e. 
_V
1614, 15pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( a  e.  _V  /\  b  e.  _V )
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( V  =  { a ,  b }  ->  (
a  e.  _V  /\  b  e.  _V )
)
1817anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( V  =  { a ,  b }  /\  a  =/=  b )  -> 
( ( a  e. 
_V  /\  b  e.  _V )  /\  a  =/=  b ) )
1918ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  ( ( a  e.  _V  /\  b  e.  _V )  /\  a  =/=  b ) )
20 frgra2v 24772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( a  e.  _V  /\  b  e.  _V )  /\  a  =/=  b
)  ->  -.  { a ,  b } FriendGrph  E )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  -.  { a ,  b } FriendGrph  E )
2221pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  ( { a ,  b } FriendGrph  E  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  3  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
2313, 22sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  3  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
2423com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
2524exlimivv 1699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( E. a E. b ( a  =/=  b  /\  V  =  { a ,  b } )  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
2611, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =  2 )  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
2726ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  =  2  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( -.  ( # `
 V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) ) )
2827com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( ( # `
 V )  =  2  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( -.  ( # `
 V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) ) )
2928com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( ( # `  V )  =  2  ->  ( V  e. 
Fin  ->  ( -.  ( # `
 V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) ) )
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  (
( # `  V )  =  2  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  3  -> 
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) ) ) )
31303imp 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  V FriendGrph  E  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( # `  V
)  =  2  -> 
( V  e.  Fin  ->  ( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
3231com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  V )  =  2  ->  (
( ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  V FriendGrph  E  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( V  e.  Fin  ->  ( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
33 rusgraprop 24702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V USGrph  E  /\  K  e.  NN0  /\  A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K ) )
34 eluz2 11089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  ( # `  V )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) ) )
35 1red 9612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  1  e.  RR )
36 2re 10606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  2  e.  RR
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  2  e.  RR )
38 zre 10869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  ( (
# `  V )  e.  ZZ  ->  ( # `  V
)  e.  RR )
3938adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  ( # `
 V )  e.  RR )
40 1lt2 10703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  1  <  2
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  1  <  2 )
42 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  2  <_  ( # `  V
) )
4335, 37, 39, 41, 42ltletrd 9742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  1  <  ( # `  V
) )
44433adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( # `  V )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  1  <  ( # `  V
) )
4534, 44sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  1  <  ( # `  V ) )
4645anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `
 V ) ) )
4746ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `
 V ) ) )
48 vdgn0frgrav2 24798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  v  e.  V )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  0 ) )
4948impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  (
v  e.  V  -> 
( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0 ) )
5049ralrimiv 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  0 )
51 eqeq2 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( K  =  0  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  0 ) )
5251ralbidv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( K  =  0  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  <->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0 ) )
53 r19.26 2989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( A. v  e.  V  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  <->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  0  /\ 
A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0 ) )
54 nne 2668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59  |-  ( -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  0 )
5554bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =  0  <->  -.  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  0 )
5655anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( ( ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  <->  ( -.  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0  /\  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0 ) )
57 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( ( -.  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =/=  0  /\  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0 )  <->  ( (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0  /\  -.  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =/=  0 ) )
58 pm3.24 880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58  |-  -.  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0  /\  -.  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)
5958bifal 1392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( ( ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  0  /\  -.  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  <-> F.  )
6056, 57, 593bitri 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  ( ( ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  <-> F.  )
6160ralbii 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( A. v  e.  V  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  <->  A. v  e.  V F.  )
62 r19.3rzv 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( F.  <->  A. v  e.  V F.  ) )
63 falim 1393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58  |-  ( F. 
->  ( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) )
6462, 63syl6bir 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( A. v  e.  V F.  ->  ( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
6564adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( A. v  e.  V F.  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
6665com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( A. v  e.  V F.  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
6761, 66sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( A. v  e.  V  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( # `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) ) )
6853, 67sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  0  /\  A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0
)  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( # `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) ) )
6968ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  0  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  0  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) )
7052, 69syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( K  =  0  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) )
7170com4t 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  0  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( (
# `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) ) ) ) )
7247, 50, 713syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( (
# `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) ) ) ) )
7372ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( K  =  0  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
7473com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  K  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
7574adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( -.  ( # `  V )  =  3  /\  -.  ( # `  V )  =  2 )  /\  ( # `  V )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
7675com15 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
7776com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
78773ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  0  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
7933, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( K  =  0  ->  ( ( ( -.  ( # `  V
)  =  3  /\ 
-.  ( # `  V
)  =  2 )  /\  ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) ) )
8079impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( K  =  0  ->  ( ( ( -.  ( # `  V
)  =  3  /\ 
-.  ( # `  V
)  =  2 )  /\  ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) )
8180impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  ->  ( K  =  0  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) )
82 frrusgraord 24845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( # `  V
)  =  ( ( K  x.  ( K  -  1 ) )  +  1 ) ) )
8382imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  ->  ( # `  V
)  =  ( ( K  x.  ( K  -  1 ) )  +  1 ) )
84 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( K  =  2  ->  K  =  2 )
85 oveq1 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( K  =  2  ->  ( K  -  1 )  =  ( 2  -  1 ) )
8684, 85oveq12d 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( K  =  2  ->  ( K  x.  ( K  -  1 ) )  =  ( 2  x.  ( 2  -  1 ) ) )
8786oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( K  =  2  ->  (
( K  x.  ( K  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  ( 2  -  1 ) )  +  1 ) )
88 2m1e1 10651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( 2  -  1 )  =  1
8988oveq2i 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( 2  x.  ( 2  -  1 ) )  =  ( 2  x.  1 )
90 2t1e2 10685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
9189, 90eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( 2  x.  ( 2  -  1 ) )  =  2
9291oveq1i 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( 2  x.  ( 2  -  1 ) )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
93 2p1e3 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( 2  +  1 )  =  3
9492, 93eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( 2  x.  ( 2  -  1 ) )  +  1 )  =  3
9587, 94syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( K  =  2  ->  (
( K  x.  ( K  -  1 ) )  +  1 )  =  3 )
9695eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( K  =  2  ->  (
( # `  V )  =  ( ( K  x.  ( K  - 
1 ) )  +  1 )  <->  ( # `  V
)  =  3 ) )
97 pm2.21 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( -.  ( # `  V
)  =  3  -> 
( ( # `  V
)  =  3  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
9897adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( -.  ( # `  V
)  =  3  /\ 
-.  ( # `  V
)  =  2 )  ->  ( ( # `  V )  =  3  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
9998adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( -.  ( # `  V )  =  3  /\  -.  ( # `  V )  =  2 )  /\  ( # `  V )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )  ->  ( ( # `  V )  =  3  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
10099com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( (
# `  V )  =  3  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
10196, 100syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( K  =  2  ->  (
( # `  V )  =  ( ( K  x.  ( K  - 
1 ) )  +  1 )  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) )
10283, 101syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  ->  ( K  =  2  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) )
103 frgrareg 24891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
104103imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) )
10581, 102, 104mpjaod 381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  ->  ( (
( -.  ( # `  V )  =  3  /\  -.  ( # `  V )  =  2 )  /\  ( # `  V )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )  ->  ( ( # `  V )  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) )
106105exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  -> 
( ( ( -.  ( # `  V
)  =  3  /\ 
-.  ( # `  V
)  =  2 )  /\  ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( # `  V
)  =  0  \/  ( # `  V
)  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) )
107106com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( (
( -.  ( # `  V )  =  3  /\  -.  ( # `  V )  =  2 )  /\  ( # `  V )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) )
108107com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( ( -.  ( # `
 V )  =  3  /\  -.  ( # `
 V )  =  2 )  /\  ( # `
 V )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) ) )
109108exp4c 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( # `  V
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( -.  ( # `  V )  =  2  ->  ( ( # `  V )  e.  (
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( V FriendGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V
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110109com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( # `  V
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( ( # `  V
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  ( -.  ( # `  V
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111110com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( # `
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112111ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( # `  V )  e.  (
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113112com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( ( # `
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114113com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
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1151143imp 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  V
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2 )  /\  V FriendGrph  E  /\  V  =/=  (/) )  -> 
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116115com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( -.  ( # `  V
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11732, 116pm2.61i 164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  V
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2 )  /\  V FriendGrph  E  /\  V  =/=  (/) )  -> 
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1181173exp 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( -.  ( # `  V
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11910, 118sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  V
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120119ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( ( # `
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 V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  -> 
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1219, 120syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( -.  ( # `  V )  =  1  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V
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122121com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( -.  ( # `
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1238, 122sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  V
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124123ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 V )  =/=  0  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( -.  ( # `
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125124com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( ( # `
 V )  =/=  0  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( -.  ( # `
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126125impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `
 V )  =/=  0 )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( -.  ( # `  V )  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
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127126com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `
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1287, 127mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  ( # `  V )  =/=  0 )  -> 
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129128ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( # `  V )  =/=  0  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( # `
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130129com14 88 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
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 V )  =  1  ->  ( -.  ( # `  V )  =  3  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V
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132131com24 87 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( -.  ( # `
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1331323imp 1190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  V
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134133com25 91 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  V
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 V )  =  3  ->  ( (
( ( # `  V
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1371363imp 1190 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( # `  V
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1383, 137sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( # `  V
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1392, 138pm2.61i 164 . . . . 5  |-  ( ( ( ( # `  V
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1401393exp1 1212 . . . 4  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( V  e.  Fin  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
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1411, 140mpcom 36 . . 3  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  -> 
( ( # `  V
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142141com12 31 . 2  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  e. 
Fin  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `
 V )  =  0  \/  ( # `  V )  =  1  \/  ( # `  V
)  =  3 ) ) ) )
1431423imp 1190 1  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  (
( # `  V )  =  0  \/  ( # `
 V )  =  1  \/  ( # `  V )  =  3 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973    = wceq 1379   F. wfal 1384   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   {cpr 4029   <.cop 4033   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Fincfn 7517   RRcr 9492   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    x. cmul 9498    < clt 9629    <_ cle 9630    - cmin 9806   NNcn 10537   2c2 10586   3c3 10587   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11083   #chash 12374   USGrph cusg 24103   VDeg cvdg 24666   RegUSGrph crusgra 24696   FriendGrph cfrgra 24761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-ec 7314  df-qs 7318  df-map 7423  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-xadd 11320  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-mod 11966  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-word 12509  df-lsw 12510  df-concat 12511  df-s1 12512  df-substr 12513  df-reps 12516  df-csh 12726  df-s2 12779  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-sum 13475  df-dvds 13851  df-gcd 14007  df-prm 14080  df-phi 14158  df-usgra 24106  df-nbgra 24193  df-wlk 24281  df-trail 24282  df-pth 24283  df-spth 24284  df-wlkon 24287  df-spthon 24290  df-wwlk 24452  df-wwlkn 24453  df-clwwlk 24524  df-clwwlkn 24525  df-2wlkonot 24631  df-2spthonot 24633  df-2spthsot 24634  df-vdgr 24667  df-rgra 24697  df-rusgra 24698  df-frgra 24762
This theorem is referenced by:  frgraregord13  24893
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