Theorem hasheq0 12123

Description: Two ways of saying a finite set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hasheq0	|- ( A e. V -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )

Proof of Theorem hasheq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 9417	. . . . . . 7 |- +oo e/ RR
2	1	neli 2702	. . . . . 6 |- -. +oo e. RR
3		hashinf 12100	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` A ) = +oo )
4	3	eleq1d 2504	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( ( # ` A ) e. RR <-> +oo e. RR ) )
5	2, 4	mtbiri 303	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. ( # ` A ) e. RR )
6		id 22	. . . . . 6 |- ( ( # ` A ) = 0 -> ( # ` A ) = 0 )
7		0re 9378	. . . . . 6 |- 0 e. RR
8	6, 7	syl6eqel 2526	. . . . 5 |- ( ( # ` A ) = 0 -> ( # ` A ) e. RR )
9	5, 8	nsyl 121	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. ( # ` A ) = 0 )
10		id 22	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> A = (/) )
11		0fin 7532	. . . . . . 7 |- (/) e. Fin
12	10, 11	syl6eqel 2526	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> A e. Fin )
13	12	con3i 135	. . . . 5 |- ( -. A e. Fin -> -. A = (/) )
14	13	adantl 466	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. A = (/) )
15	9, 14	2falsed 351	. . 3 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )
16	15	ex 434	. 2 |- ( A e. V -> ( -. A e. Fin -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) ) )
17		hashen 12110	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ (/) e. Fin ) -> ( ( # ` A ) = ( # ` (/) ) <-> A ~~ (/) ) )
18	11, 17	mpan2 671	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) = ( # ` (/) ) <-> A ~~ (/) ) )
19		fz10 11462	. . . . . 6 |- ( 1 ... 0 ) = (/)
20	19	fveq2i 5689	. . . . 5 |- ( # ` ( 1 ... 0 ) ) = ( # ` (/) )
21		0nn0 10586	. . . . . 6 |- 0 e. NN0
22		hashfz1 12109	. . . . . 6 |- ( 0 e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... 0 ) ) = 0 )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( # ` ( 1 ... 0 ) ) = 0
24	20, 23	eqtr3i 2460	. . . 4 |- ( # ` (/) ) = 0
25	24	eqeq2i 2448	. . 3 |- ( ( # ` A ) = ( # ` (/) ) <-> ( # ` A ) = 0 )
26		en0 7364	. . 3 |- ( A ~~ (/) <-> A = (/) )
27	18, 25, 26	3bitr3g 287	. 2 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )
28	16, 27	pm2.61d2 160	1 |- ( A e. V -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   (/)c0 3632   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   ~~ cen 7299   Fincfn 7302   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   +oocpnf 9407   NN0cn0 10571   ...cfz 11429   #chash 12095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-hash 12096

This theorem is referenced by:  hashneq0  12124  hashnncl  12126  hash0  12127  hashgt0  12143  hashle00  12150  seqcoll2  12209  lswcl  12262  wrdind  12363  wrd2ind  12364  swrdccat3a  12377  swrdccat3blem  12378  rev0  12396  repsw0  12407  cshwidx0  12434  fz1f1o  13179  hashbc0  14058  0hashbc  14060  ram0  14075  cshws0  14120  gsmsymgrfix  15924  sylow1lem1  16088  sylow1lem4  16091  sylow2blem3  16112  frgpnabllem1  16342  vieta1lem2  21752  tgldimor  22930  isusgra0  23226  usgrafisindb0  23272  vdusgra0nedg  23529  usgravd0nedg  23533  hasheuni  26486  signstfvn  26922  signstfveq0a  26929  signshnz  26944  wwlkn0s  30292  clwwlkgt0  30387  hashecclwwlkn1  30461  usghashecclwwlk  30462  vdn0frgrav2  30569  vdgn0frgrav2  30570  frgrawopreg  30595  frgregordn0  30616  frgrareg  30663  frgraregord013  30664  frgraregord13  30665  frgraogt3nreg  30666  friendshipgt3  30667  01eq0rng  30728  0rngnnzr  30729  lindsrng01  30891