Theorem hasheq0 12541

Description: Two ways of saying a finite set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hasheq0	|- ( A e. V -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )

Proof of Theorem hasheq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 9681	. . . . . . 7 |- +oo e/ RR
2	1	neli 2767	. . . . . 6 |- -. +oo e. RR
3		hashinf 12517	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` A ) = +oo )
4	3	eleq1d 2498	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( ( # ` A ) e. RR <-> +oo e. RR ) )
5	2, 4	mtbiri 304	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. ( # ` A ) e. RR )
6		id 23	. . . . . 6 |- ( ( # ` A ) = 0 -> ( # ` A ) = 0 )
7		0re 9642	. . . . . 6 |- 0 e. RR
8	6, 7	syl6eqel 2525	. . . . 5 |- ( ( # ` A ) = 0 -> ( # ` A ) e. RR )
9	5, 8	nsyl 124	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. ( # ` A ) = 0 )
10		id 23	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> A = (/) )
11		0fin 7805	. . . . . . 7 |- (/) e. Fin
12	10, 11	syl6eqel 2525	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> A e. Fin )
13	12	con3i 140	. . . . 5 |- ( -. A e. Fin -> -. A = (/) )
14	13	adantl 467	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. A = (/) )
15	9, 14	2falsed 352	. . 3 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )
16	15	ex 435	. 2 |- ( A e. V -> ( -. A e. Fin -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) ) )
17		hashen 12527	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ (/) e. Fin ) -> ( ( # ` A ) = ( # ` (/) ) <-> A ~~ (/) ) )
18	11, 17	mpan2 675	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) = ( # ` (/) ) <-> A ~~ (/) ) )
19		fz10 11818	. . . . . 6 |- ( 1 ... 0 ) = (/)
20	19	fveq2i 5884	. . . . 5 |- ( # ` ( 1 ... 0 ) ) = ( # ` (/) )
21		0nn0 10884	. . . . . 6 |- 0 e. NN0
22		hashfz1 12526	. . . . . 6 |- ( 0 e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... 0 ) ) = 0 )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( # ` ( 1 ... 0 ) ) = 0
24	20, 23	eqtr3i 2460	. . . 4 |- ( # ` (/) ) = 0
25	24	eqeq2i 2447	. . 3 |- ( ( # ` A ) = ( # ` (/) ) <-> ( # ` A ) = 0 )
26		en0 7639	. . 3 |- ( A ~~ (/) <-> A = (/) )
27	18, 25, 26	3bitr3g 290	. 2 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )
28	16, 27	pm2.61d2 163	1 |- ( A e. V -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1870   (/)c0 3767   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   ~~ cen 7574   Fincfn 7577   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539   +oocpnf 9671   NN0cn0 10869   ...cfz 11782   #chash 12512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-hash 12513

This theorem is referenced by:  hashneq0  12542  hashnncl  12544  hash0  12545  hashgt0  12564  hashle00  12574  seqcoll2  12622  wrdind  12818  wrd2ind  12819  swrdccat3a  12835  swrdccat3blem  12836  rev0  12854  repsw0  12865  cshwidx0  12892  fz1f1o  13754  hashbc0  14920  0hashbc  14922  ram0  14943  cshws0  15035  gsmsymgrfix  17020  sylow1lem1  17185  sylow1lem4  17188  sylow2blem3  17209  frgpnabllem1  17444  0ringnnzr  18428  01eq0ring  18431  vieta1lem2  23132  tgldimor  24409  isusgra0  24920  usgraop  24923  usgrafisindb0  24981  wwlkn0s  25278  clwwlkgt0  25344  hashecclwwlkn1  25407  usghashecclwwlk  25408  vdusgra0nedg  25481  usgravd0nedg  25491  vdn0frgrav2  25596  vdgn0frgrav2  25597  frgrawopreg  25622  frgregordn0  25643  frgrareg  25690  frgraregord013  25691  frgraregord13  25692  frgraogt3nreg  25693  friendshipgt3  25694  hasheuni  28745  signstfvn  29246  signstfveq0a  29253  signshnz  29268  elmrsubrn  29946  usgo0s0  38505  usgo0s0ALT  38506  usgo1s0ALT  38507  usgo1s0  38512  lindsrng01  39021