Theorem hasheq0 12436

Description: Two ways of saying a finite set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hasheq0	|- ( A e. V -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )

Proof of Theorem hasheq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 9652	. . . . . . 7 |- +oo e/ RR
2	1	neli 2792	. . . . . 6 |- -. +oo e. RR
3		hashinf 12413	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` A ) = +oo )
4	3	eleq1d 2526	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( ( # ` A ) e. RR <-> +oo e. RR ) )
5	2, 4	mtbiri 303	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. ( # ` A ) e. RR )
6		id 22	. . . . . 6 |- ( ( # ` A ) = 0 -> ( # ` A ) = 0 )
7		0re 9613	. . . . . 6 |- 0 e. RR
8	6, 7	syl6eqel 2553	. . . . 5 |- ( ( # ` A ) = 0 -> ( # ` A ) e. RR )
9	5, 8	nsyl 121	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. ( # ` A ) = 0 )
10		id 22	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> A = (/) )
11		0fin 7766	. . . . . . 7 |- (/) e. Fin
12	10, 11	syl6eqel 2553	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> A e. Fin )
13	12	con3i 135	. . . . 5 |- ( -. A e. Fin -> -. A = (/) )
14	13	adantl 466	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. A = (/) )
15	9, 14	2falsed 351	. . 3 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )
16	15	ex 434	. 2 |- ( A e. V -> ( -. A e. Fin -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) ) )
17		hashen 12423	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ (/) e. Fin ) -> ( ( # ` A ) = ( # ` (/) ) <-> A ~~ (/) ) )
18	11, 17	mpan2 671	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) = ( # ` (/) ) <-> A ~~ (/) ) )
19		fz10 11731	. . . . . 6 |- ( 1 ... 0 ) = (/)
20	19	fveq2i 5875	. . . . 5 |- ( # ` ( 1 ... 0 ) ) = ( # ` (/) )
21		0nn0 10831	. . . . . 6 |- 0 e. NN0
22		hashfz1 12422	. . . . . 6 |- ( 0 e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... 0 ) ) = 0 )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( # ` ( 1 ... 0 ) ) = 0
24	20, 23	eqtr3i 2488	. . . 4 |- ( # ` (/) ) = 0
25	24	eqeq2i 2475	. . 3 |- ( ( # ` A ) = ( # ` (/) ) <-> ( # ` A ) = 0 )
26		en0 7597	. . 3 |- ( A ~~ (/) <-> A = (/) )
27	18, 25, 26	3bitr3g 287	. 2 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )
28	16, 27	pm2.61d2 160	1 |- ( A e. V -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ~~ cen 7532   Fincfn 7535   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   +oocpnf 9642   NN0cn0 10816   ...cfz 11697   #chash 12408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-hash 12409

This theorem is referenced by:  hashneq0  12437  hashnncl  12439  hash0  12440  hashgt0  12459  hashle00  12469  seqcoll2  12517  wrdind  12714  wrd2ind  12715  swrdccat3a  12731  swrdccat3blem  12732  rev0  12750  repsw0  12761  cshwidx0  12788  fz1f1o  13544  hashbc0  14535  0hashbc  14537  ram0  14552  cshws0  14598  gsmsymgrfix  16580  sylow1lem1  16745  sylow1lem4  16748  sylow2blem3  16769  frgpnabllem1  17004  0ringnnzr  18044  01eq0ring  18047  vieta1lem2  22833  tgldimor  24019  isusgra0  24474  usgraop  24477  usgrafisindb0  24535  wwlkn0s  24832  clwwlkgt0  24898  hashecclwwlkn1  24961  usghashecclwwlk  24962  vdusgra0nedg  25035  usgravd0nedg  25045  vdn0frgrav2  25150  vdgn0frgrav2  25151  frgrawopreg  25176  frgregordn0  25197  frgrareg  25244  frgraregord013  25245  frgraregord13  25246  frgraogt3nreg  25247  friendshipgt3  25248  hasheuni  28257  signstfvn  28723  signstfveq0a  28730  signshnz  28745  elmrsubrn  29077  usgo0s0  32676  usgo0s0ALT  32677  usgo1s0ALT  32678  usgo1s0  32683  lindsrng01  33192