Theorem hasheq0 12551

Description: Two ways of saying a finite set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hasheq0	|- ( A e. V -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )

Proof of Theorem hasheq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 9690	. . . . . . 7 |- +oo e/ RR
2	1	neli 2756	. . . . . 6 |- -. +oo e. RR
3		hashinf 12527	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` A ) = +oo )
4	3	eleq1d 2491	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( ( # ` A ) e. RR <-> +oo e. RR ) )
5	2, 4	mtbiri 304	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. ( # ` A ) e. RR )
6		id 22	. . . . . 6 |- ( ( # ` A ) = 0 -> ( # ` A ) = 0 )
7		0re 9651	. . . . . 6 |- 0 e. RR
8	6, 7	syl6eqel 2515	. . . . 5 |- ( ( # ` A ) = 0 -> ( # ` A ) e. RR )
9	5, 8	nsyl 124	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. ( # ` A ) = 0 )
10		id 22	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> A = (/) )
11		0fin 7809	. . . . . . 7 |- (/) e. Fin
12	10, 11	syl6eqel 2515	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> A e. Fin )
13	12	con3i 140	. . . . 5 |- ( -. A e. Fin -> -. A = (/) )
14	13	adantl 467	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. A = (/) )
15	9, 14	2falsed 352	. . 3 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )
16	15	ex 435	. 2 |- ( A e. V -> ( -. A e. Fin -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) ) )
17		hashen 12537	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ (/) e. Fin ) -> ( ( # ` A ) = ( # ` (/) ) <-> A ~~ (/) ) )
18	11, 17	mpan2 675	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) = ( # ` (/) ) <-> A ~~ (/) ) )
19		fz10 11828	. . . . . 6 |- ( 1 ... 0 ) = (/)
20	19	fveq2i 5885	. . . . 5 |- ( # ` ( 1 ... 0 ) ) = ( # ` (/) )
21		0nn0 10892	. . . . . 6 |- 0 e. NN0
22		hashfz1 12536	. . . . . 6 |- ( 0 e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... 0 ) ) = 0 )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( # ` ( 1 ... 0 ) ) = 0
24	20, 23	eqtr3i 2453	. . . 4 |- ( # ` (/) ) = 0
25	24	eqeq2i 2440	. . 3 |- ( ( # ` A ) = ( # ` (/) ) <-> ( # ` A ) = 0 )
26		en0 7643	. . 3 |- ( A ~~ (/) <-> A = (/) )
27	18, 25, 26	3bitr3g 290	. 2 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )
28	16, 27	pm2.61d2 163	1 |- ( A e. V -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1872   (/)c0 3761   class class class wbr 4423   ` cfv 5601  (class class class)co 6306   ~~ cen 7578   Fincfn 7581   RRcr 9546   0cc0 9547   1c1 9548   +oocpnf 9680   NN0cn0 10877   ...cfz 11792   #chash 12522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-er 7375  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-card 8382  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-nn 10618  df-n0 10878  df-z 10946  df-uz 11168  df-fz 11793  df-hash 12523

This theorem is referenced by:  hashneq0  12552  hashnncl  12554  hash0  12555  hashgt0  12574  hashle00  12584  seqcoll2  12633  hashge2el2difr  12643  wrdind  12836  wrd2ind  12837  swrdccat3a  12853  swrdccat3blem  12854  rev0  12872  repsw0  12883  cshwidx0  12910  fz1f1o  13776  hashbc0  14957  0hashbc  14959  ram0  14980  cshws0  15072  gsmsymgrfix  17069  sylow1lem1  17250  sylow1lem4  17253  sylow2blem3  17274  frgpnabllem1  17509  0ringnnzr  18493  01eq0ring  18496  vieta1lem2  23263  tgldimor  24545  isusgra0  25073  usgraop  25076  usgrafisindb0  25135  wwlkn0s  25432  clwwlkgt0  25498  hashecclwwlkn1  25561  usghashecclwwlk  25562  vdusgra0nedg  25635  usgravd0nedg  25645  vdn0frgrav2  25750  vdgn0frgrav2  25751  frgrawopreg  25776  frgregordn0  25797  frgrareg  25844  frgraregord013  25845  frgraregord13  25846  frgraogt3nreg  25847  friendshipgt3  25848  hasheuni  28915  signstfvn  29467  signstfveq0a  29474  signshnz  29489  elmrsubrn  30167  prprrab  38922  upgredg  39048  uhgr0vsize0  39118  usgr1v0e  39186  fusgrfisbase  39188  usgo0s0  39396  usgo0s0ALT  39397  usgo1s0ALT  39398  usgo1s0  39403  lindsrng01  39912