Theorem hasheq0 12400

Description: Two ways of saying a finite set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hasheq0	|- ( A e. V -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )

Proof of Theorem hasheq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 9634	. . . . . . 7 |- +oo e/ RR
2	1	neli 2802	. . . . . 6 |- -. +oo e. RR
3		hashinf 12377	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` A ) = +oo )
4	3	eleq1d 2536	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( ( # ` A ) e. RR <-> +oo e. RR ) )
5	2, 4	mtbiri 303	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. ( # ` A ) e. RR )
6		id 22	. . . . . 6 |- ( ( # ` A ) = 0 -> ( # ` A ) = 0 )
7		0re 9595	. . . . . 6 |- 0 e. RR
8	6, 7	syl6eqel 2563	. . . . 5 |- ( ( # ` A ) = 0 -> ( # ` A ) e. RR )
9	5, 8	nsyl 121	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. ( # ` A ) = 0 )
10		id 22	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> A = (/) )
11		0fin 7747	. . . . . . 7 |- (/) e. Fin
12	10, 11	syl6eqel 2563	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> A e. Fin )
13	12	con3i 135	. . . . 5 |- ( -. A e. Fin -> -. A = (/) )
14	13	adantl 466	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> -. A = (/) )
15	9, 14	2falsed 351	. . 3 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )
16	15	ex 434	. 2 |- ( A e. V -> ( -. A e. Fin -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) ) )
17		hashen 12387	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ (/) e. Fin ) -> ( ( # ` A ) = ( # ` (/) ) <-> A ~~ (/) ) )
18	11, 17	mpan2 671	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) = ( # ` (/) ) <-> A ~~ (/) ) )
19		fz10 11705	. . . . . 6 |- ( 1 ... 0 ) = (/)
20	19	fveq2i 5868	. . . . 5 |- ( # ` ( 1 ... 0 ) ) = ( # ` (/) )
21		0nn0 10809	. . . . . 6 |- 0 e. NN0
22		hashfz1 12386	. . . . . 6 |- ( 0 e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... 0 ) ) = 0 )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( # ` ( 1 ... 0 ) ) = 0
24	20, 23	eqtr3i 2498	. . . 4 |- ( # ` (/) ) = 0
25	24	eqeq2i 2485	. . 3 |- ( ( # ` A ) = ( # ` (/) ) <-> ( # ` A ) = 0 )
26		en0 7578	. . 3 |- ( A ~~ (/) <-> A = (/) )
27	18, 25, 26	3bitr3g 287	. 2 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )
28	16, 27	pm2.61d2 160	1 |- ( A e. V -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   ~~ cen 7513   Fincfn 7516   RRcr 9490   0cc0 9491   1c1 9492   +oocpnf 9624   NN0cn0 10794   ...cfz 11671   #chash 12372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-hash 12373

This theorem is referenced by:  hashneq0  12401  hashnncl  12403  hash0  12404  hashgt0  12423  hashle00  12430  seqcoll2  12478  lswcl  12553  wrdind  12664  wrd2ind  12665  swrdccat3a  12681  swrdccat3blem  12682  rev0  12700  repsw0  12711  cshwidx0  12738  fz1f1o  13494  hashbc0  14381  0hashbc  14383  ram0  14398  cshws0  14443  gsmsymgrfix  16255  sylow1lem1  16421  sylow1lem4  16424  sylow2blem3  16445  frgpnabllem1  16677  0rngnnzr  17711  vieta1lem2  22457  tgldimor  23637  isusgra0  24039  usgraop  24042  usgrafisindb0  24100  wwlkn0s  24397  clwwlkgt0  24463  hashecclwwlkn1  24526  usghashecclwwlk  24527  vdusgra0nedg  24600  usgravd0nedg  24610  vdn0frgrav2  24716  vdgn0frgrav2  24717  frgrawopreg  24742  frgregordn0  24763  frgrareg  24810  frgraregord013  24811  frgraregord13  24812  frgraogt3nreg  24813  friendshipgt3  24814  hasheuni  27747  signstfvn  28182  signstfveq0a  28189  signshnz  28204  usgo0s0  31918  usgo0s0ALT  31919  usgo1s0ALT  31920  usgo1s0  31925  01eq0rng  32048  lindsrng01  32159