Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlkn0s Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlkn0s 26233
 Description: The set of all walks as words of length 0 is the set of all words of length 1 over the vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
wwlkn0s ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘0) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (#‘𝑤) = 1})
Distinct variable groups:   𝑤,𝐸   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋   𝑤,𝑌

Proof of Theorem wwlkn0s
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 11184 . . 3 0 ∈ ℕ0
2 wwlkn 26210 . . 3 ((𝑉𝑋𝐸𝑌 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘0) = {𝑤 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∣ (#‘𝑤) = (0 + 1)})
31, 2mp3an3 1405 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘0) = {𝑤 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∣ (#‘𝑤) = (0 + 1)})
4 0p1e1 11009 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
54eqeq2i 2622 . . . . 5 ((#‘𝑤) = (0 + 1) ↔ (#‘𝑤) = 1)
65anbi2i 726 . . . 4 ((𝑤 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = (0 + 1)) ↔ (𝑤 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 1))
7 iswwlk 26211 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (𝑤 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
87adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (#‘𝑤) = 1) → (𝑤 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
9 simp2 1055 . . . . . . . 8 ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → 𝑤 ∈ Word 𝑉)
10 ax-1ne0 9884 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≠ 0
11 pm13.181 2864 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑤) = 1 ∧ 1 ≠ 0) → (#‘𝑤) ≠ 0)
1210, 11mpan2 703 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑤) = 1 → (#‘𝑤) ≠ 0)
13 vex 3176 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑤 ∈ V
14 hasheq0 13015 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ V → ((#‘𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = ∅))
1513, 14mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑤) = 1 → ((#‘𝑤) = 0 ↔ 𝑤 = ∅))
1615necon3bid 2826 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑤) = 1 → ((#‘𝑤) ≠ 0 ↔ 𝑤 ≠ ∅))
1712, 16mpbid 221 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑤) = 1 → 𝑤 ≠ ∅)
1817ad2antlr 759 . . . . . . . . . 10 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (#‘𝑤) = 1) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → 𝑤 ≠ ∅)
19 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (#‘𝑤) = 1) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → 𝑤 ∈ Word 𝑉)
20 ral0 4028 . . . . . . . . . . . 12 𝑖 ∈ ∅ {(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸
21 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑤) = 1 → ((#‘𝑤) − 1) = (1 − 1))
22 1m1e0 10966 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 − 1) = 0
2321, 22syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑤) = 1 → ((#‘𝑤) − 1) = 0)
2423oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑤) = 1 → (0..^((#‘𝑤) − 1)) = (0..^0))
25 fzo0 12361 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^0) = ∅
2624, 25syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑤) = 1 → (0..^((#‘𝑤) − 1)) = ∅)
2726raleqdv 3121 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑤) = 1 → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ {(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
2820, 27mpbiri 247 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑤) = 1 → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
2928ad2antlr 759 . . . . . . . . . 10 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (#‘𝑤) = 1) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
3018, 19, 293jca 1235 . . . . . . . . 9 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (#‘𝑤) = 1) ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
3130ex 449 . . . . . . . 8 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (#‘𝑤) = 1) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 → (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
329, 31impbid2 215 . . . . . . 7 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (#‘𝑤) = 1) → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ↔ 𝑤 ∈ Word 𝑉))
338, 32bitrd 267 . . . . . 6 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (#‘𝑤) = 1) → (𝑤 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ 𝑤 ∈ Word 𝑉))
3433ex 449 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → ((#‘𝑤) = 1 → (𝑤 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ 𝑤 ∈ Word 𝑉)))
3534pm5.32rd 670 . . . 4 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → ((𝑤 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = 1) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 1)))
366, 35syl5bb 271 . . 3 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → ((𝑤 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑤) = (0 + 1)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 1)))
3736rabbidva2 3162 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → {𝑤 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∣ (#‘𝑤) = (0 + 1)} = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (#‘𝑤) = 1})
383, 37eqtrd 2644 1 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘0) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (#‘𝑤) = 1})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {cpr 4127  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕ0cn0 11169  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   WWalks cwwlk 26205   WWalksN cwwlkn 26206 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-wwlk 26207  df-wwlkn 26208 This theorem is referenced by:  rusgranumwlkb0  26480
 Copyright terms: Public domain W3C validator