Theorem frgrareggt1 26643

Description: If a finite friendship graph is k-regular with k > 1, then k must be 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
frgrareggt1	⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = 2))

Proof of Theorem frgrareggt1

Dummy variables 𝑝 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rusgraprop 26456	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾))
2		2z 11286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → 2 ∈ ℤ)
4		nn0z 11277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
5		peano2zm 11297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
8		zltlem1 11307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 < 𝐾 ↔ 2 ≤ (𝐾 − 1)))
9	2, 4, 8	sylancr 694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 < 𝐾 ↔ 2 ≤ (𝐾 − 1)))
10	9	biimpa 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → 2 ≤ (𝐾 − 1))
11		eluz2 11569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (𝐾 − 1)))
12	3, 7, 10, 11	syl3anbrc 1239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘2))
13		exprmfct 15254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1))
15		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)
16		simp1 1054	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 FriendGrph 𝐸)
17	15, 16	anim12i 588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸))
18		pm3.22 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
19	18	3adant1 1072	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
21		simpll 786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)))
22		numclwwlk7 26641	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑝)) mod 𝑝) = 1)
23	17, 20, 21, 22	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → ((#‘((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑝)) mod 𝑝) = 1)
24		frisusgra 26519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑉 FriendGrph 𝐸 → 𝑉 USGrph 𝐸)
25	24	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 USGrph 𝐸)
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 𝑉 USGrph 𝐸)
27		simpr2 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 𝑉 ∈ Fin)
28		simplll 794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 𝑝 ∈ ℙ)
29		numclwwlk8 26642	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((#‘((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑝)) mod 𝑝) = 0)
30	26, 27, 28, 29	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → ((#‘((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑝)) mod 𝑝) = 0)
31		eqeq1 2614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((#‘((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑝)) mod 𝑝) = 0 → (((#‘((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑝)) mod 𝑝) = 1 ↔ 0 = 1))
32		ax-1ne0 9884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ≠ 0
33	32	nesymi 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ 0 = 1
34	33	pm2.21i 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 = 1 → 𝐾 = 2)
35	31, 34	syl6bi 242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑝)) mod 𝑝) = 0 → (((#‘((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑝)) mod 𝑝) = 1 → 𝐾 = 2))
36	30, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (((#‘((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑝)) mod 𝑝) = 1 → 𝐾 = 2))
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (((#‘((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑝)) mod 𝑝) = 1 → 𝐾 = 2)))
38	37	com13 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((#‘((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑝)) mod 𝑝) = 1 → ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → 𝐾 = 2)))
39	23, 38	mpcom 37	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → 𝐾 = 2))
40	39	exp31 628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → 𝐾 = 2))))
41	40	com24 93	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → 𝐾 = 2))))
42	41	rexlimiva 3010	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐾 − 1) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → 𝐾 = 2))))
43	14, 42	mpcom 37	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 𝐾) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → 𝐾 = 2)))
44	43	ex 449	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 < 𝐾 → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → 𝐾 = 2))))
45	44	com24 93	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (2 < 𝐾 → 𝐾 = 2))))
46	45	3ad2ant2 1076	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (2 < 𝐾 → 𝐾 = 2))))
47	1, 46	mpcom 37	. . . 4 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (2 < 𝐾 → 𝐾 = 2)))
48	47	adantr 480	. . 3 ⊢ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (2 < 𝐾 → 𝐾 = 2)))
49	48	com13 86	. 2 ⊢ (2 < 𝐾 → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = 2)))
50		1red 9934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
51		nn0re 11178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
52	50, 51	ltnled 10063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 1))
53		1e2m1 11013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (2 − 1)
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 = (2 − 1))
55	54	breq2d 4595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 1 ↔ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
56	55	notbid 307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐾 ≤ 1 ↔ ¬ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
57		zltlem1 11307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐾 < 2 ↔ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
58	4, 2, 57	sylancl 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 2 ↔ 𝐾 ≤ (2 − 1)))
59	58	bicomd 212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ (2 − 1) ↔ 𝐾 < 2))
60	59	notbid 307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐾 ≤ (2 − 1) ↔ ¬ 𝐾 < 2))
61	52, 56, 60	3bitrd 293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 2))
62		2re 10967	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
63		lttri3 10000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝐾 = 2 ↔ (¬ 𝐾 < 2 ∧ ¬ 2 < 𝐾)))
64	63	biimprd 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((¬ 𝐾 < 2 ∧ ¬ 2 < 𝐾) → 𝐾 = 2))
65	51, 62, 64	sylancl 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((¬ 𝐾 < 2 ∧ ¬ 2 < 𝐾) → 𝐾 = 2))
66	65	expd 451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐾 < 2 → (¬ 2 < 𝐾 → 𝐾 = 2)))
67	61, 66	sylbid 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 𝐾 → (¬ 2 < 𝐾 → 𝐾 = 2)))
68	67	3ad2ant2 1076	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → (1 < 𝐾 → (¬ 2 < 𝐾 → 𝐾 = 2)))
69	1, 68	syl 17	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (1 < 𝐾 → (¬ 2 < 𝐾 → 𝐾 = 2)))
70	69	imp 444	. . . 4 ⊢ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾) → (¬ 2 < 𝐾 → 𝐾 = 2))
71	70	com12 32	. . 3 ⊢ (¬ 2 < 𝐾 → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = 2))
72	71	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 2 < 𝐾 → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = 2)))
73	49, 72	pm2.61i 175	1 ⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  ∅c0 3874  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563   mod cmo 12530  #chash 12979   ∥ cdvds 14821  ℙcprime 15223   USGrph cusg 25859   ClWWalksN cclwwlkn 26277   VDeg cvdg 26420   RegUSGrph crusgra 26450   FriendGrph cfrgra 26515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-reps 13161  df-csh 13386  df-s2 13444  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-phi 15309  df-usgra 25862  df-nbgra 25949  df-wlk 26036  df-trail 26037  df-pth 26038  df-spth 26039  df-wlkon 26042  df-spthon 26045  df-wwlk 26207  df-wwlkn 26208  df-clwwlk 26279  df-clwwlkn 26280  df-2wlkonot 26385  df-2spthonot 26387  df-2spthsot 26388  df-vdgr 26421  df-rgra 26451  df-rusgra 26452  df-frgra 26516

This theorem is referenced by:  frgrareg  26644