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Theorem frgrareg 25238
Description: If a finite friendship graph is k-regular, then k must be 2 (or 0). (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgrareg  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )

Proof of Theorem frgrareg
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rusgraprop 25050 . . . . 5  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V USGrph  E  /\  K  e.  NN0  /\  A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K ) )
2 nn0re 10721 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
3 1re 9506 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
4 lenlt 9574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( K  <_  1  <->  -.  1  <  K ) )
54bicomd 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( -.  1  < 
K  <->  K  <_  1 ) )
62, 3, 5sylancl 660 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( -.  1  <  K  <->  K  <_  1 ) )
7 ioran 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  <->  ( -.  K  =  0  /\  -.  K  =  2 ) )
8 df-ne 2579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  =/=  0  <->  -.  K  =  0 )
9 elnnne0 10726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  e.  NN0  /\  K  =/=  0 ) )
10 nnle1eq1 10480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  <_  1  <->  K  = 
1 ) )
11 rusgrasn 25066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( # `  V
)  =  1  /\ 
<. V ,  E >. RegUSGrph  K
)  ->  K  = 
0 )
1211orcd 390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  V
)  =  1  /\ 
<. V ,  E >. RegUSGrph  K
)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) )
1312expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V
)  =  1  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
1413adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( ( # `  V
)  =  1  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
1514com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  V )  =  1  ->  (
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
1615a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  V )  =  1  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
1716a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  V )  =  1  ->  ( K  =  1  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
18 hashcl 12330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 V )  e. 
NN0 )
19 rusisusgra 25052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  V USGrph  E )
20 usgrav 24459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )
)
22 hasheq0 12336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( V  e.  _V  ->  (
( # `  V )  =  0  <->  V  =  (/) ) )
2322bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  =  (/)  <->  ( # `  V
)  =  0 ) )
2423necon3bid 2640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  =/=  (/)  <->  ( # `  V
)  =/=  0 ) )
25 elnnne0 10726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  <->  ( ( # `  V )  e.  NN0  /\  ( # `  V
)  =/=  0 ) )
26 df-ne 2579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( (
# `  V )  =/=  1  <->  -.  ( # `  V
)  =  1 )
27 eluz2b3 11074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( ( # `  V
)  e.  NN  /\  ( # `  V )  =/=  1 ) )
28 eluz2 11007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  ( # `  V )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) ) )
293a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  1  e.  RR )
30 2re 10522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  2  e.  RR
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  2  e.  RR )
32 zre 10785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( (
# `  V )  e.  ZZ  ->  ( # `  V
)  e.  RR )
3332adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  ( # `
 V )  e.  RR )
34 1lt2 10619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  1  <  2
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( (
# `  V )  e.  ZZ  ->  1  <  2 )
3635anim1i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  (
1  <  2  /\  2  <_  ( # `  V
) ) )
37 ltletr 9587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( # `
 V )  e.  RR )  ->  (
( 1  <  2  /\  2  <_  ( # `  V ) )  -> 
1  <  ( # `  V
) ) )
3837imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( # `  V )  e.  RR )  /\  ( 1  <  2  /\  2  <_  ( # `  V ) ) )  ->  1  <  ( # `
 V ) )
3929, 31, 33, 36, 38syl31anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  1  <  ( # `  V
) )
40 eqeq2 2397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( K  =  1  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  1 ) )
4140ralbidv 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  ( K  =  1  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  <->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1 ) )
4241ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  (
( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 ) )  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  <->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  1 ) )
43 vdgn1frgrav3 25149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  1 )
44 r19.26 2909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61  |-  ( A. v  e.  V  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  1  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1 )  <->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  1  /\ 
A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1 ) )
45 df-ne 2579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/=  1  <->  -.  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  1 )
4645anbi1i 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64  |-  ( ( ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  1  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1 )  <->  ( -.  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1  /\  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  1 ) )
47 ancom 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64  |-  ( ( -.  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  1  /\  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1 )  <->  ( (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1  /\  -.  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  1 ) )
48 pm3.24 880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65  |-  -.  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1  /\  -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1 )
4948bifal 1412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64  |-  ( ( ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1  /\  -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1 )  <-> F.  )
5046, 47, 493bitri 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63  |-  ( ( ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  1  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1 )  <-> F.  )
5150ralbii 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62  |-  ( A. v  e.  V  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  1  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1 )  <->  A. v  e.  V F.  )
52 r19.3rzv 3838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( F.  <->  A. v  e.  V F.  ) )
53 falim 1413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64  |-  ( F. 
->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) )
5452, 53syl6bir 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( A. v  e.  V F.  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
5554com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62  |-  ( A. v  e.  V F.  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
5651, 55sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61  |-  ( A. v  e.  V  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  1  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1 )  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
5744, 56sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60  |-  ( ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  1  /\  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  1 )  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
5857ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  1  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  1  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
5943, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
6059expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  1  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
6160ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  ( ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
6261impcom 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  (
( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 ) )  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  1  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
6342, 62sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  (
( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 ) )  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
6463com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  (
( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 ) )  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
6564ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 )  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
6665com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  -> 
( V  =/=  (/)  ->  (
( ( ( # `  V )  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V ) )  /\  K  =  1 )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
6766com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( V  =/=  (/)  ->  (
( ( ( # `  V )  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V ) )  /\  K  =  1 )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
68673ad2ant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( V  =/=  (/)  ->  (
( ( ( # `  V )  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V ) )  /\  K  =  1 )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
691, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  (
( ( ( # `  V )  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V ) )  /\  K  =  1 )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
7069impcom 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( (
( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
7170impcom 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( ( ( (
# `  V )  e.  ZZ  /\  1  < 
( # `  V ) )  /\  K  =  1 )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
7271com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 )  -> 
( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
7372ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  ( K  =  1  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
7439, 73syldan 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  ( K  =  1  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
75743adant1 1012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( # `  V )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  ( K  =  1  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
7628, 75sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( K  =  1  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
7727, 76sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  NN  /\  ( # `  V )  =/=  1 )  -> 
( K  =  1  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
7877expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( (
# `  V )  =/=  1  ->  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( K  =  1  ->  (
( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
7978com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( (
# `  V )  =/=  1  ->  ( K  =  1  ->  (
( # `  V )  e.  NN  ->  (
( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
8026, 79sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( K  =  1  ->  ( ( # `  V )  e.  NN  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
8180com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
8225, 81sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  NN0  /\  ( # `  V )  =/=  0 )  -> 
( K  =  1  ->  ( -.  ( # `
 V )  =  1  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
8382expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( (
# `  V )  =/=  0  ->  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
8483com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
# `  V )  =/=  0  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  1  ->  ( -.  ( # `
 V )  =  1  ->  ( ( # `
 V )  e. 
NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
8584expd 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  V )  =/=  0  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) )
8624, 85syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) ) )
8786com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  e.  _V  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) ) )
8887pm2.43i 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  e.  _V  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) )
8988imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( V  =/=  (/)  /\  V  e.  _V )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V )  =  1  ->  (
( # `  V )  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
9089expd 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( V  =/=  (/)  /\  V  e.  _V )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  -> 
( K  =  1  ->  ( -.  ( # `
 V )  =  1  ->  ( ( # `
 V )  e. 
NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) )
9190expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) ) )
9291com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( V  e.  _V  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) ) )
9392adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) ) )
9421, 93mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) )
9594imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
9695com15 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
9718, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
9897imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
9998com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( K  =  1  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
10017, 99pm2.61i 164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  =  1  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
10110, 100syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  <_  1  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
1029, 101sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  =/=  0 )  -> 
( K  <_  1  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
103102expcom 433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  =/=  0  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( K  <_  1  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
104103com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  =/=  0  ->  ( K  <_  1  ->  ( K  e.  NN0  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
1058, 104sylbir 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  K  =  0  -> 
( K  <_  1  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
106105adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  K  =  0  /\  -.  K  =  2 )  ->  ( K  <_  1  ->  ( K  e.  NN0  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
1077, 106sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  ->  ( K  <_  1  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
108107com13 80 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  <_  1  ->  ( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
1096, 108sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( -.  1  <  K  -> 
( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
110109com25 91 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( -.  1  <  K  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
1111103ad2ant2 1016 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K )  ->  ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( -.  1  <  K  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
112111expd 434 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K )  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( -.  1  <  K  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) )
1131, 112mpcom 36 . . . 4  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( -.  1  < 
K  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
114113impcom 428 . . 3  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( -.  1  <  K  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
115114com14 88 . 2  |-  ( -.  1  <  K  -> 
( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
116 simprl 754 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  V FriendGrph  E )
117 simpl 455 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  V  e.  Fin )
118117ad2antlr 724 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  V  e.  Fin )
119 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  V  =/=  (/) )
120119ad2antlr 724 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  V  =/=  (/) )
121 simpl 455 . . . . . 6  |-  ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  ->  1  <  K
)
122 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )
123121, 122anim12ci 565 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  1  <  K ) )
124 frgrareggt1 25237 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  1  <  K )  ->  K  =  2 ) )
125124imp 427 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  /\  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  1  <  K ) )  ->  K  = 
2 )
126116, 118, 120, 123, 125syl31anc 1229 . . . 4  |-  ( ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  K  =  2 )
127126olcd 391 . . 3  |-  ( ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) )
128127exp31 602 . 2  |-  ( 1  <  K  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
129 ax-1 6 . . 3  |-  ( ( K  =  0  \/  K  =  2 )  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
130129a1d 25 . 2  |-  ( ( K  =  0  \/  K  =  2 )  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
131115, 128, 130pm2.61ii 165 1  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399   F. wfal 1404    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   _Vcvv 3034   (/)c0 3711   <.cop 3950   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Fincfn 7435   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    < clt 9539    <_ cle 9540   NNcn 10452   2c2 10502   NN0cn0 10712   ZZcz 10781   ZZ>=cuz 11001   #chash 12307   USGrph cusg 24451   VDeg cvdg 25014   RegUSGrph crusgra 25044   FriendGrph cfrgra 25109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-ot 3953  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-disj 4339  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-ec 7231  df-qs 7235  df-map 7340  df-pm 7341  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-xadd 11240  df-ico 11456  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-word 12446  df-lsw 12447  df-concat 12448  df-s1 12449  df-substr 12450  df-reps 12453  df-csh 12671  df-s2 12724  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-sum 13511  df-dvds 13989  df-gcd 14147  df-prm 14220  df-phi 14298  df-usgra 24454  df-nbgra 24541  df-wlk 24629  df-trail 24630  df-pth 24631  df-spth 24632  df-wlkon 24635  df-spthon 24638  df-wwlk 24800  df-wwlkn 24801  df-clwwlk 24872  df-clwwlkn 24873  df-2wlkonot 24979  df-2spthonot 24981  df-2spthsot 24982  df-vdgr 25015  df-rgra 25045  df-rusgra 25046  df-frgra 25110
This theorem is referenced by:  frgraregord013  25239
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