MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrareg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem frgrareg 25838
Description: If a finite friendship graph is k-regular, then k must be 2 (or 0). (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgrareg  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )

Proof of Theorem frgrareg
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rusgraprop 25650 . . . . 5  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V USGrph  E  /\  K  e.  NN0  /\  A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K ) )
2 nn0re 10875 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
3 1re 9639 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
4 lenlt 9709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( K  <_  1  <->  -.  1  <  K ) )
54bicomd 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( -.  1  < 
K  <->  K  <_  1 ) )
62, 3, 5sylancl 667 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( -.  1  <  K  <->  K  <_  1 ) )
7 ioran 493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  <->  ( -.  K  =  0  /\  -.  K  =  2 ) )
8 df-ne 2623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  =/=  0  <->  -.  K  =  0 )
9 elnnne0 10880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  e.  NN0  /\  K  =/=  0 ) )
10 nnle1eq1 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  <_  1  <->  K  = 
1 ) )
11 rusgrasn 25666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( # `  V
)  =  1  /\ 
<. V ,  E >. RegUSGrph  K
)  ->  K  = 
0 )
1211orcd 394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  V
)  =  1  /\ 
<. V ,  E >. RegUSGrph  K
)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) )
1312expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V
)  =  1  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
1413adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( ( # `  V
)  =  1  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
1514com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  V )  =  1  ->  (
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
1615a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  V )  =  1  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
1716a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  V )  =  1  ->  ( K  =  1  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
18 hashcl 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 V )  e. 
NN0 )
19 rusisusgra 25652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  V USGrph  E )
20 usgrav 25058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )
)
22 hasheq0 12541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( V  e.  _V  ->  (
( # `  V )  =  0  <->  V  =  (/) ) )
2322bicomd 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  =  (/)  <->  ( # `  V
)  =  0 ) )
2423necon3bid 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  =/=  (/)  <->  ( # `  V
)  =/=  0 ) )
25 elnnne0 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  <->  ( ( # `  V )  e.  NN0  /\  ( # `  V
)  =/=  0 ) )
26 df-ne 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( (
# `  V )  =/=  1  <->  -.  ( # `  V
)  =  1 )
27 eluz2b3 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( ( # `  V
)  e.  NN  /\  ( # `  V )  =/=  1 ) )
28 eluz2 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  ( # `  V )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) ) )
293a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  1  e.  RR )
30 2re 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  2  e.  RR
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  2  e.  RR )
32 zre 10938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( (
# `  V )  e.  ZZ  ->  ( # `  V
)  e.  RR )
3332adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  ( # `
 V )  e.  RR )
34 1lt2 10773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  1  <  2
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( (
# `  V )  e.  ZZ  ->  1  <  2 )
3635anim1i 571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  (
1  <  2  /\  2  <_  ( # `  V
) ) )
37 ltletr 9722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( # `
 V )  e.  RR )  ->  (
( 1  <  2  /\  2  <_  ( # `  V ) )  -> 
1  <  ( # `  V
) ) )
3837imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( # `  V )  e.  RR )  /\  ( 1  <  2  /\  2  <_  ( # `  V ) ) )  ->  1  <  ( # `
 V ) )
3929, 31, 33, 36, 38syl31anc 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  1  <  ( # `  V
) )
40 eqeq2 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( K  =  1  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  1 ) )
4140ralbidv 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  ( K  =  1  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  <->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1 ) )
4241ad2antll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  (
( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 ) )  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  <->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  1 ) )
43 vdgn1frgrav3 25749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  1 )
44 r19.26 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61  |-  ( A. v  e.  V  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  1  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1 )  <->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  1  /\ 
A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1 ) )
45 df-ne 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/=  1  <->  -.  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  1 )
4645anbi1i 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64  |-  ( ( ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  1  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1 )  <->  ( -.  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1  /\  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  1 ) )
47 ancom 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64  |-  ( ( -.  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  1  /\  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1 )  <->  ( (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1  /\  -.  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  1 ) )
48 pm3.24 892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65  |-  -.  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1  /\  -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1 )
4948bifal 1456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64  |-  ( ( ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1  /\  -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1 )  <-> F.  )
5046, 47, 493bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63  |-  ( ( ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  1  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1 )  <-> F.  )
5150ralbii 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62  |-  ( A. v  e.  V  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  1  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1 )  <->  A. v  e.  V F.  )
52 r19.3rzv 3861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( F.  <->  A. v  e.  V F.  ) )
53 falim 1457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64  |-  ( F. 
->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) )
5452, 53syl6bir 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( A. v  e.  V F.  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
5554com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62  |-  ( A. v  e.  V F.  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
5651, 55sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61  |-  ( A. v  e.  V  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  1  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1 )  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
5744, 56sylbir 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60  |-  ( ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  1  /\  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  1 )  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
5857ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  1  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  1  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
5943, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
6059expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  1  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
6160ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  ( ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
6261impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  (
( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 ) )  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  1  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
6342, 62sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  (
( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 ) )  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
6463com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  (
( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 ) )  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
6564ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 )  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
6665com24 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  -> 
( V  =/=  (/)  ->  (
( ( ( # `  V )  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V ) )  /\  K  =  1 )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
6766com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( V  =/=  (/)  ->  (
( ( ( # `  V )  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V ) )  /\  K  =  1 )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
68673ad2ant3 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( V  =/=  (/)  ->  (
( ( ( # `  V )  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V ) )  /\  K  =  1 )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
691, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  (
( ( ( # `  V )  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V ) )  /\  K  =  1 )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
7069impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( (
( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
7170impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( ( ( (
# `  V )  e.  ZZ  /\  1  < 
( # `  V ) )  /\  K  =  1 )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
7271com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 )  -> 
( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
7372ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  ( K  =  1  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
7439, 73syldan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  ( K  =  1  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
75743adant1 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( # `  V )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  ( K  =  1  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
7628, 75sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( K  =  1  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
7727, 76sylbir 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  NN  /\  ( # `  V )  =/=  1 )  -> 
( K  =  1  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
7877expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( (
# `  V )  =/=  1  ->  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( K  =  1  ->  (
( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
7978com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( (
# `  V )  =/=  1  ->  ( K  =  1  ->  (
( # `  V )  e.  NN  ->  (
( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
8026, 79sylbir 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( K  =  1  ->  ( ( # `  V )  e.  NN  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
8180com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
8225, 81sylbir 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  NN0  /\  ( # `  V )  =/=  0 )  -> 
( K  =  1  ->  ( -.  ( # `
 V )  =  1  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
8382expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( (
# `  V )  =/=  0  ->  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
8483com25 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
# `  V )  =/=  0  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  1  ->  ( -.  ( # `
 V )  =  1  ->  ( ( # `
 V )  e. 
NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
8584expd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  V )  =/=  0  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) )
8624, 85syl6bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) ) )
8786com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  e.  _V  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) ) )
8887pm2.43i 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  e.  _V  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) )
8988imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( V  =/=  (/)  /\  V  e.  _V )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V )  =  1  ->  (
( # `  V )  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
9089expd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( V  =/=  (/)  /\  V  e.  _V )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  -> 
( K  =  1  ->  ( -.  ( # `
 V )  =  1  ->  ( ( # `
 V )  e. 
NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) )
9190expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) ) )
9291com24 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( V  e.  _V  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) ) )
9392adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) ) )
9421, 93mpcom 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) )
9594imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
9695com15 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
9718, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
9897imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
9998com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( K  =  1  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
10017, 99pm2.61i 168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  =  1  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
10110, 100syl6bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  <_  1  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
1029, 101sylbir 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  =/=  0 )  -> 
( K  <_  1  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
103102expcom 437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  =/=  0  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( K  <_  1  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
104103com23 81 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  =/=  0  ->  ( K  <_  1  ->  ( K  e.  NN0  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
1058, 104sylbir 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  K  =  0  -> 
( K  <_  1  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
106105adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  K  =  0  /\  -.  K  =  2 )  ->  ( K  <_  1  ->  ( K  e.  NN0  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
1077, 106sylbi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  ->  ( K  <_  1  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
108107com13 83 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  <_  1  ->  ( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
1096, 108sylbid 219 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( -.  1  <  K  -> 
( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
110109com25 94 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( -.  1  <  K  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
1111103ad2ant2 1029 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K )  ->  ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( -.  1  <  K  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
112111expd 438 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K )  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( -.  1  <  K  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) )
1131, 112mpcom 37 . . . 4  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( -.  1  < 
K  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
114113impcom 432 . . 3  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( -.  1  <  K  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
115114com14 91 . 2  |-  ( -.  1  <  K  -> 
( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
116 simprl 763 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  V FriendGrph  E )
117 simpl 459 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  V  e.  Fin )
118117ad2antlr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  V  e.  Fin )
119 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  V  =/=  (/) )
120119ad2antlr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  V  =/=  (/) )
121 simpl 459 . . . . . 6  |-  ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  ->  1  <  K
)
122 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )
123121, 122anim12ci 570 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  1  <  K ) )
124 frgrareggt1 25837 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  1  <  K )  ->  K  =  2 ) )
125124imp 431 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  /\  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  1  <  K ) )  ->  K  = 
2 )
126116, 118, 120, 123, 125syl31anc 1270 . . . 4  |-  ( ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  K  =  2 )
127126olcd 395 . . 3  |-  ( ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) )
128127exp31 608 . 2  |-  ( 1  <  K  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
129 2a1 28 . 2  |-  ( ( K  =  0  \/  K  =  2 )  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
130115, 128, 129pm2.61ii 169 1  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443   F. wfal 1448    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   _Vcvv 3044   (/)c0 3730   <.cop 3973   class class class wbr 4401   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   Fincfn 7566   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    < clt 9672    <_ cle 9673   NNcn 10606   2c2 10656   NN0cn0 10866   ZZcz 10934   ZZ>=cuz 11156   #chash 12512   USGrph cusg 25050   VDeg cvdg 25614   RegUSGrph crusgra 25644   FriendGrph cfrgra 25709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-ot 3976  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-disj 4373  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-ec 7362  df-qs 7366  df-map 7471  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-xadd 11407  df-ico 11638  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-word 12661  df-lsw 12662  df-concat 12663  df-s1 12664  df-substr 12665  df-reps 12668  df-csh 12886  df-s2 12939  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-sum 13746  df-dvds 14299  df-gcd 14462  df-prm 14616  df-phi 14707  df-usgra 25053  df-nbgra 25141  df-wlk 25229  df-trail 25230  df-pth 25231  df-spth 25232  df-wlkon 25235  df-spthon 25238  df-wwlk 25400  df-wwlkn 25401  df-clwwlk 25472  df-clwwlkn 25473  df-2wlkonot 25579  df-2spthonot 25581  df-2spthsot 25582  df-vdgr 25615  df-rgra 25645  df-rusgra 25646  df-frgra 25710
This theorem is referenced by:  frgraregord013  25839
  Copyright terms: Public domain W3C validator