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Theorem frgrareg 24989
Description: If a finite friendship graph is k-regular, then k must be 2 (or 0). (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgrareg  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )

Proof of Theorem frgrareg
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rusgraprop 24801 . . . . 5  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V USGrph  E  /\  K  e.  NN0  /\  A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K ) )
2 nn0re 10810 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
3 1re 9598 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
4 lenlt 9666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( K  <_  1  <->  -.  1  <  K ) )
54bicomd 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( -.  1  < 
K  <->  K  <_  1 ) )
62, 3, 5sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( -.  1  <  K  <->  K  <_  1 ) )
7 ioran 490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  <->  ( -.  K  =  0  /\  -.  K  =  2 ) )
8 df-ne 2640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  =/=  0  <->  -.  K  =  0 )
9 elnnne0 10815 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  e.  NN0  /\  K  =/=  0 ) )
10 nnle1eq1 10570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  <_  1  <->  K  = 
1 ) )
11 rusgrasn 24817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( # `  V
)  =  1  /\ 
<. V ,  E >. RegUSGrph  K
)  ->  K  = 
0 )
1211orcd 392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  V
)  =  1  /\ 
<. V ,  E >. RegUSGrph  K
)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) )
1312expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V
)  =  1  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
1413adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( ( # `  V
)  =  1  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
1514com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  V )  =  1  ->  (
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
1615a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  V )  =  1  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
1716a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  V )  =  1  ->  ( K  =  1  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
18 hashcl 12407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 V )  e. 
NN0 )
19 rusisusgra 24803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  V USGrph  E )
20 usgrav 24210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )
)
22 hasheq0 12412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( V  e.  _V  ->  (
( # `  V )  =  0  <->  V  =  (/) ) )
2322bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  =  (/)  <->  ( # `  V
)  =  0 ) )
2423necon3bid 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  =/=  (/)  <->  ( # `  V
)  =/=  0 ) )
25 elnnne0 10815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  <->  ( ( # `  V )  e.  NN0  /\  ( # `  V
)  =/=  0 ) )
26 df-ne 2640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( (
# `  V )  =/=  1  <->  -.  ( # `  V
)  =  1 )
27 eluz2b3 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( ( # `  V
)  e.  NN  /\  ( # `  V )  =/=  1 ) )
28 eluz2 11096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  ( # `  V )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) ) )
293a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  1  e.  RR )
30 2re 10611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  2  e.  RR
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  2  e.  RR )
32 zre 10874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( (
# `  V )  e.  ZZ  ->  ( # `  V
)  e.  RR )
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  ( # `
 V )  e.  RR )
34 1lt2 10708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  1  <  2
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( (
# `  V )  e.  ZZ  ->  1  <  2 )
3635anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  (
1  <  2  /\  2  <_  ( # `  V
) ) )
37 ltletr 9679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( # `
 V )  e.  RR )  ->  (
( 1  <  2  /\  2  <_  ( # `  V ) )  -> 
1  <  ( # `  V
) ) )
3837imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( # `  V )  e.  RR )  /\  ( 1  <  2  /\  2  <_  ( # `  V ) ) )  ->  1  <  ( # `
 V ) )
3929, 31, 33, 36, 38syl31anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  1  <  ( # `  V
) )
40 eqeq2 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( K  =  1  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  1 ) )
4140ralbidv 2882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  ( K  =  1  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  <->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1 ) )
4241ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  (
( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 ) )  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  <->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  1 ) )
43 vdgn1frgrav3 24900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  1 )
44 r19.26 2970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61  |-  ( A. v  e.  V  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  1  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1 )  <->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  1  /\ 
A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1 ) )
45 df-ne 2640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/=  1  <->  -.  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  1 )
4645anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64  |-  ( ( ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  1  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1 )  <->  ( -.  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1  /\  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  1 ) )
47 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64  |-  ( ( -.  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  1  /\  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1 )  <->  ( (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1  /\  -.  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  1 ) )
48 pm3.24 882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65  |-  -.  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1  /\  -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1 )
4948bifal 1396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64  |-  ( ( ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1  /\  -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1 )  <-> F.  )
5046, 47, 493bitri 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63  |-  ( ( ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  1  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1 )  <-> F.  )
5150ralbii 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62  |-  ( A. v  e.  V  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  1  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1 )  <->  A. v  e.  V F.  )
52 r19.3rzv 3908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( F.  <->  A. v  e.  V F.  ) )
53 falim 1397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64  |-  ( F. 
->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) )
5452, 53syl6bir 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( A. v  e.  V F.  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
5554com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62  |-  ( A. v  e.  V F.  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
5651, 55sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61  |-  ( A. v  e.  V  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  1  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1 )  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
5744, 56sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60  |-  ( ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  1  /\  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  1 )  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
5857ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  1  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  1  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
5943, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
6059expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  1  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
6160ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  ( ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
6261impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  (
( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 ) )  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  1  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
6342, 62sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  (
( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 ) )  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
6463com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  (
( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 ) )  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
6564ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 )  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
6665com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  -> 
( V  =/=  (/)  ->  (
( ( ( # `  V )  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V ) )  /\  K  =  1 )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
6766com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( V  =/=  (/)  ->  (
( ( ( # `  V )  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V ) )  /\  K  =  1 )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
68673ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( V  =/=  (/)  ->  (
( ( ( # `  V )  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V ) )  /\  K  =  1 )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
691, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  (
( ( ( # `  V )  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V ) )  /\  K  =  1 )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
7069impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( (
( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
7170impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( ( ( (
# `  V )  e.  ZZ  /\  1  < 
( # `  V ) )  /\  K  =  1 )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
7271com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 )  -> 
( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
7372ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  ( K  =  1  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
7439, 73syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  ( K  =  1  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
75743adant1 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( # `  V )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  ( K  =  1  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
7628, 75sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( K  =  1  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
7727, 76sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  NN  /\  ( # `  V )  =/=  1 )  -> 
( K  =  1  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
7877expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( (
# `  V )  =/=  1  ->  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( K  =  1  ->  (
( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
7978com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( (
# `  V )  =/=  1  ->  ( K  =  1  ->  (
( # `  V )  e.  NN  ->  (
( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
8026, 79sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( K  =  1  ->  ( ( # `  V )  e.  NN  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
8180com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
8225, 81sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  NN0  /\  ( # `  V )  =/=  0 )  -> 
( K  =  1  ->  ( -.  ( # `
 V )  =  1  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
8382expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( (
# `  V )  =/=  0  ->  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
8483com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
# `  V )  =/=  0  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  1  ->  ( -.  ( # `
 V )  =  1  ->  ( ( # `
 V )  e. 
NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
8584expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  V )  =/=  0  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) )
8624, 85syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) ) )
8786com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  e.  _V  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) ) )
8887pm2.43i 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  e.  _V  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) )
8988imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( V  =/=  (/)  /\  V  e.  _V )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V )  =  1  ->  (
( # `  V )  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
9089expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( V  =/=  (/)  /\  V  e.  _V )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  -> 
( K  =  1  ->  ( -.  ( # `
 V )  =  1  ->  ( ( # `
 V )  e. 
NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) )
9190expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) ) )
9291com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( V  e.  _V  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) ) )
9392adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) ) )
9421, 93mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) )
9594imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
9695com15 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
9718, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
9897imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
9998com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( K  =  1  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
10017, 99pm2.61i 164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  =  1  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
10110, 100syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  <_  1  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
1029, 101sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  =/=  0 )  -> 
( K  <_  1  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
103102expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  =/=  0  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( K  <_  1  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
104103com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  =/=  0  ->  ( K  <_  1  ->  ( K  e.  NN0  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
1058, 104sylbir 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  K  =  0  -> 
( K  <_  1  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
106105adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  K  =  0  /\  -.  K  =  2 )  ->  ( K  <_  1  ->  ( K  e.  NN0  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
1077, 106sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  ->  ( K  <_  1  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
108107com13 80 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  <_  1  ->  ( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
1096, 108sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( -.  1  <  K  -> 
( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
110109com25 91 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( -.  1  <  K  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
1111103ad2ant2 1019 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K )  ->  ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( -.  1  <  K  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
112111expd 436 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K )  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( -.  1  <  K  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) )
1131, 112mpcom 36 . . . 4  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( -.  1  < 
K  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
114113impcom 430 . . 3  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( -.  1  <  K  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
115114com14 88 . 2  |-  ( -.  1  <  K  -> 
( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
116 simprl 756 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  V FriendGrph  E )
117 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  V  e.  Fin )
118117ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  V  e.  Fin )
119 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  V  =/=  (/) )
120119ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  V  =/=  (/) )
121 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  ->  1  <  K
)
122 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )
123121, 122anim12ci 567 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  1  <  K ) )
124 frgrareggt1 24988 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  1  <  K )  ->  K  =  2 ) )
125124imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  /\  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  1  <  K ) )  ->  K  = 
2 )
126116, 118, 120, 123, 125syl31anc 1232 . . . 4  |-  ( ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  K  =  2 )
127126olcd 393 . . 3  |-  ( ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) )
128127exp31 604 . 2  |-  ( 1  <  K  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
129 ax-1 6 . . 3  |-  ( ( K  =  0  \/  K  =  2 )  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
130129a1d 25 . 2  |-  ( ( K  =  0  \/  K  =  2 )  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
131115, 128, 130pm2.61ii 165 1  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383   F. wfal 1388    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   _Vcvv 3095   (/)c0 3770   <.cop 4020   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    < clt 9631    <_ cle 9632   NNcn 10542   2c2 10591   NN0cn0 10801   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090   #chash 12384   USGrph cusg 24202   VDeg cvdg 24765   RegUSGrph crusgra 24795   FriendGrph cfrgra 24860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-ot 4023  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-ec 7315  df-qs 7319  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-rp 11230  df-xadd 11328  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-mod 11976  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-word 12521  df-lsw 12522  df-concat 12523  df-s1 12524  df-substr 12525  df-reps 12528  df-csh 12739  df-s2 12792  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-sum 13488  df-dvds 13864  df-gcd 14022  df-prm 14095  df-phi 14173  df-usgra 24205  df-nbgra 24292  df-wlk 24380  df-trail 24381  df-pth 24382  df-spth 24383  df-wlkon 24386  df-spthon 24389  df-wwlk 24551  df-wwlkn 24552  df-clwwlk 24623  df-clwwlkn 24624  df-2wlkonot 24730  df-2spthonot 24732  df-2spthsot 24733  df-vdgr 24766  df-rgra 24796  df-rusgra 24797  df-frgra 24861
This theorem is referenced by:  frgraregord013  24990
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