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Theorem frgrareg 24794
Description: If a finite friendship graph is k-regular, then k must be 2 (or 0). (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
frgrareg  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )

Proof of Theorem frgrareg
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rusgraprop 24605 . . . . 5  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V USGrph  E  /\  K  e.  NN0  /\  A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K ) )
2 nn0re 10800 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
3 1re 9591 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
4 lenlt 9659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( K  <_  1  <->  -.  1  <  K ) )
54bicomd 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( -.  1  < 
K  <->  K  <_  1 ) )
62, 3, 5sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( -.  1  <  K  <->  K  <_  1 ) )
7 ioran 490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  <->  ( -.  K  =  0  /\  -.  K  =  2 ) )
8 df-ne 2664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  =/=  0  <->  -.  K  =  0 )
9 elnnne0 10805 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  e.  NN0  /\  K  =/=  0 ) )
10 nnle1eq1 10560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  <_  1  <->  K  = 
1 ) )
11 rusgrasn 24621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( # `  V
)  =  1  /\ 
<. V ,  E >. RegUSGrph  K
)  ->  K  = 
0 )
1211orcd 392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( # `  V
)  =  1  /\ 
<. V ,  E >. RegUSGrph  K
)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) )
1312expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( ( # `  V
)  =  1  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
1413adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( ( # `  V
)  =  1  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
1514com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  V )  =  1  ->  (
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
1615a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  V )  =  1  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
1716a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  V )  =  1  ->  ( K  =  1  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
18 hashcl 12392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 V )  e. 
NN0 )
19 rusisusgra 24607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  V USGrph  E )
20 usgrav 24014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )
)
22 hasheq0 12397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( V  e.  _V  ->  (
( # `  V )  =  0  <->  V  =  (/) ) )
2322bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  =  (/)  <->  ( # `  V
)  =  0 ) )
2423necon3bid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  =/=  (/)  <->  ( # `  V
)  =/=  0 ) )
25 elnnne0 10805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  <->  ( ( # `  V )  e.  NN0  /\  ( # `  V
)  =/=  0 ) )
26 df-ne 2664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( (
# `  V )  =/=  1  <->  -.  ( # `  V
)  =  1 )
27 eluz2b3 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( ( # `  V
)  e.  NN  /\  ( # `  V )  =/=  1 ) )
28 eluz2 11084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  ( # `  V )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) ) )
293a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  1  e.  RR )
30 2re 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  2  e.  RR
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  2  e.  RR )
32 zre 10864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( (
# `  V )  e.  ZZ  ->  ( # `  V
)  e.  RR )
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  ( # `
 V )  e.  RR )
34 1lt2 10698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  1  <  2
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( (
# `  V )  e.  ZZ  ->  1  <  2 )
3635anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  (
1  <  2  /\  2  <_  ( # `  V
) ) )
37 ltletr 9672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( # `
 V )  e.  RR )  ->  (
( 1  <  2  /\  2  <_  ( # `  V ) )  -> 
1  <  ( # `  V
) ) )
3837imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( # `  V )  e.  RR )  /\  ( 1  <  2  /\  2  <_  ( # `  V ) ) )  ->  1  <  ( # `
 V ) )
3929, 31, 33, 36, 38syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  1  <  ( # `  V
) )
40 eqeq2 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( K  =  1  ->  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  <->  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  1 ) )
4140ralbidv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  ( K  =  1  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  <->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1 ) )
4241ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  (
( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 ) )  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  <->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  1 ) )
43 vdgn1frgrav3 24705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  1 )
44 r19.26 2989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61  |-  ( A. v  e.  V  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  1  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1 )  <->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =/=  1  /\ 
A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1 ) )
45 df-ne 2664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65  |-  ( ( ( V VDeg  E ) `
 v )  =/=  1  <->  -.  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  1 )
4645anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64  |-  ( ( ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  1  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1 )  <->  ( -.  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1  /\  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  1 ) )
47 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64  |-  ( ( -.  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  1  /\  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1 )  <->  ( (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1  /\  -.  ( ( V VDeg  E ) `  v )  =  1 ) )
48 pm3.24 880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65  |-  -.  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1  /\  -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1 )
4948bifal 1392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64  |-  ( ( ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1  /\  -.  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1 )  <-> F.  )
5046, 47, 493bitri 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63  |-  ( ( ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  1  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1 )  <-> F.  )
5150ralbii 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62  |-  ( A. v  e.  V  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  1  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1 )  <->  A. v  e.  V F.  )
52 r19.3rzv 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( F.  <->  A. v  e.  V F.  ) )
53 falim 1393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64  |-  ( F. 
->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) )
5452, 53syl6bir 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( A. v  e.  V F.  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
5554com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62  |-  ( A. v  e.  V F.  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
5651, 55sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61  |-  ( A. v  e.  V  (
( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  1  /\  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  1 )  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
5744, 56sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60  |-  ( ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =/=  1  /\  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  1 )  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
5857ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =/=  1  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg 
E ) `  v
)  =  1  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
5943, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
6059expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57  |-  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  1  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
6160ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  ( ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 )  -> 
( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  1  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
6261impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  (
( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 ) )  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  1  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
6342, 62sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  (
( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 ) )  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
6463com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  (
( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 ) )  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
6564ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 )  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E
) `  v )  =  K  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
6665com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( V FriendGrph  E  ->  ( A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K  -> 
( V  =/=  (/)  ->  (
( ( ( # `  V )  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V ) )  /\  K  =  1 )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
6766com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( A. v  e.  V  (
( V VDeg  E ) `  v )  =  K  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( V  =/=  (/)  ->  (
( ( ( # `  V )  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V ) )  /\  K  =  1 )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
68673ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K )  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( V  =/=  (/)  ->  (
( ( ( # `  V )  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V ) )  /\  K  =  1 )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
691, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  (
( ( ( # `  V )  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V ) )  /\  K  =  1 )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
7069impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( (
( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
7170impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( ( ( (
# `  V )  e.  ZZ  /\  1  < 
( # `  V ) )  /\  K  =  1 )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
7271com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  /\  K  =  1 )  -> 
( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
7372ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  ( K  =  1  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
7439, 73syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  ( K  =  1  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
75743adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( # `  V )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  V
) )  ->  ( K  =  1  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
7628, 75sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( (
# `  V )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( K  =  1  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
7727, 76sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  NN  /\  ( # `  V )  =/=  1 )  -> 
( K  =  1  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
7877expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( (
# `  V )  =/=  1  ->  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( K  =  1  ->  (
( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
7978com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( (
# `  V )  =/=  1  ->  ( K  =  1  ->  (
( # `  V )  e.  NN  ->  (
( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
8026, 79sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( K  =  1  ->  ( ( # `  V )  e.  NN  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
8180com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
8225, 81sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  NN0  /\  ( # `  V )  =/=  0 )  -> 
( K  =  1  ->  ( -.  ( # `
 V )  =  1  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
8382expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( (
# `  V )  =/=  0  ->  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
8483com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
# `  V )  =/=  0  ->  ( ( V  =/=  (/)  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K ) )  -> 
( K  =  1  ->  ( -.  ( # `
 V )  =  1  ->  ( ( # `
 V )  e. 
NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
8584expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  V )  =/=  0  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) )
8624, 85syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) ) )
8786com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  e.  _V  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) ) )
8887pm2.43i 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  e.  _V  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) )
8988imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( V  =/=  (/)  /\  V  e.  _V )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V )  =  1  ->  (
( # `  V )  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
9089expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( V  =/=  (/)  /\  V  e.  _V )  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  -> 
( K  =  1  ->  ( -.  ( # `
 V )  =  1  ->  ( ( # `
 V )  e. 
NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) )
9190expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) ) )
9291com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( V  e.  _V  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) ) )
9392adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) ) )
9421, 93mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) )
9594imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
9695com15 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
9718, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( V  =/=  (/)  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
9897imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( K  =  1  ->  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
9998com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  ( # `  V
)  =  1  -> 
( K  =  1  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
10017, 99pm2.61i 164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  =  1  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
10110, 100syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  <_  1  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
1029, 101sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  =/=  0 )  -> 
( K  <_  1  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
103102expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  =/=  0  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( K  <_  1  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
104103com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  =/=  0  ->  ( K  <_  1  ->  ( K  e.  NN0  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
1058, 104sylbir 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  K  =  0  -> 
( K  <_  1  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
106105adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  K  =  0  /\  -.  K  =  2 )  ->  ( K  <_  1  ->  ( K  e.  NN0  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
1077, 106sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  ->  ( K  <_  1  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
108107com13 80 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  <_  1  ->  ( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
1096, 108sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( -.  1  <  K  -> 
( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
110109com25 91 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( (
<. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( -.  1  <  K  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
1111103ad2ant2 1018 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K )  ->  ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  V FriendGrph  E )  -> 
( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( -.  1  <  K  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
112111expd 436 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  K  e. 
NN0  /\  A. v  e.  V  ( ( V VDeg  E ) `  v
)  =  K )  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( -.  1  <  K  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) ) )
1131, 112mpcom 36 . . . 4  |-  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  ->  ( V FriendGrph  E  ->  ( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( -.  1  < 
K  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) ) )
114113impcom 430 . . 3  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( -.  1  <  K  -> 
( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
115114com14 88 . 2  |-  ( -.  1  <  K  -> 
( -.  ( K  =  0  \/  K  =  2 )  -> 
( ( V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) ) )
116 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  V FriendGrph  E )
117 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  V  e.  Fin )
118117ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  V  e.  Fin )
119 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  V  =/=  (/) )
120119ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  V  =/=  (/) )
121 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  ->  1  <  K
)
122 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )
123121, 122anim12ci 567 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  1  <  K ) )
124 frgrareggt1 24793 . . . . . 6  |-  ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  1  <  K )  ->  K  =  2 ) )
125124imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( V FriendGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  /\  ( <. V ,  E >. RegUSGrph  K  /\  1  <  K ) )  ->  K  = 
2 )
126116, 118, 120, 123, 125syl31anc 1231 . . . 4  |-  ( ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  K  =  2 )
127126olcd 393 . . 3  |-  ( ( ( 1  <  K  /\  ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) ) )  /\  ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
) )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) )
128127exp31 604 . 2  |-  ( 1  <  K  ->  (
( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  -> 
( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K
)  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
129 ax-1 6 . . 3  |-  ( ( K  =  0  \/  K  =  2 )  ->  ( ( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
130129a1d 25 . 2  |-  ( ( K  =  0  \/  K  =  2 )  ->  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) ) )
131115, 128, 130pm2.61ii 165 1  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( V FriendGrph  E  /\  <. V ,  E >. RegUSGrph  K )  ->  ( K  =  0  \/  K  =  2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   F. wfal 1384    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   <.cop 4033   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    < clt 9624    <_ cle 9625   NNcn 10532   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   #chash 12369   USGrph cusg 24006   VDeg cvdg 24569   RegUSGrph crusgra 24599   FriendGrph cfrgra 24664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-ec 7310  df-qs 7314  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-xadd 11315  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-word 12504  df-lsw 12505  df-concat 12506  df-s1 12507  df-substr 12508  df-reps 12511  df-csh 12719  df-s2 12772  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468  df-dvds 13844  df-gcd 14000  df-prm 14073  df-phi 14151  df-usgra 24009  df-nbgra 24096  df-wlk 24184  df-trail 24185  df-pth 24186  df-spth 24187  df-wlkon 24190  df-spthon 24193  df-wwlk 24355  df-wwlkn 24356  df-clwwlk 24427  df-clwwlkn 24428  df-2wlkonot 24534  df-2spthonot 24536  df-2spthsot 24537  df-vdgr 24570  df-rgra 24600  df-rusgra 24601  df-frgra 24665
This theorem is referenced by:  frgraregord013  24795
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