Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  av-friendship Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem av-friendship 41553
 Description: The friendship theorem: In every finite (nonempty) friendship graph there is a vertex which is adjacent to all other vertices. This is Metamath 100 proof #83. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
av-friendship.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
av-friendship ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺,𝑤   𝑣,𝑉,𝑤

Proof of Theorem av-friendship
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1060 . . . 4 ((3 < (#‘𝑉) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2 simpr3 1062 . . . 4 ((3 < (#‘𝑉) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝑉 ∈ Fin)
3 simpl 472 . . . 4 ((3 < (#‘𝑉) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 3 < (#‘𝑉))
4 av-friendship.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
54av-friendshipgt3 41552 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺))
61, 2, 3, 5syl3anc 1318 . . 3 ((3 < (#‘𝑉) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺))
76ex 449 . 2 (3 < (#‘𝑉) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))
8 hashcl 13009 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
9 simplr 788 . . . . . . . . . . 11 ((((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin) ∧ (¬ 3 < (#‘𝑉) ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 𝑉 ∈ Fin)
10 hashge1 13039 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 1 ≤ (#‘𝑉))
1110ad2ant2l 778 . . . . . . . . . . 11 ((((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin) ∧ (¬ 3 < (#‘𝑉) ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 1 ≤ (#‘𝑉))
12 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (#‘𝑉) ∈ ℝ)
13 3re 10971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℝ
14 lenlt 9995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((#‘𝑉) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((#‘𝑉) ≤ 3 ↔ ¬ 3 < (#‘𝑉)))
1512, 13, 14sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑉) ≤ 3 ↔ ¬ 3 < (#‘𝑉)))
1615biimprd 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (¬ 3 < (#‘𝑉) → (#‘𝑉) ≤ 3))
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin) → (¬ 3 < (#‘𝑉) → (#‘𝑉) ≤ 3))
1817com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 3 < (#‘𝑉) → (((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin) → (#‘𝑉) ≤ 3))
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 3 < (#‘𝑉) ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin) → (#‘𝑉) ≤ 3))
2019impcom 445 . . . . . . . . . . 11 ((((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin) ∧ (¬ 3 < (#‘𝑉) ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (#‘𝑉) ≤ 3)
219, 11, 203jca 1235 . . . . . . . . . 10 ((((#‘𝑉) ∈ ℕ0𝑉 ∈ Fin) ∧ (¬ 3 < (#‘𝑉) ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (#‘𝑉) ∧ (#‘𝑉) ≤ 3))
2221exp31 628 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝑉 ∈ Fin → ((¬ 3 < (#‘𝑉) ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (#‘𝑉) ∧ (#‘𝑉) ≤ 3))))
238, 22mpcom 37 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → ((¬ 3 < (#‘𝑉) ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (#‘𝑉) ∧ (#‘𝑉) ≤ 3)))
2423impcom 445 . . . . . . 7 (((¬ 3 < (#‘𝑉) ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (#‘𝑉) ∧ (#‘𝑉) ≤ 3))
25 hash1to3 13128 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (#‘𝑉) ∧ (#‘𝑉) ≤ 3) → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
26 vex 3176 . . . . . . . . . 10 𝑎 ∈ V
27 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
284, 271to3vfriendship-av 41451 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ V ∧ (𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))
2926, 28mpan 702 . . . . . . . . 9 ((𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))
3029exlimiv 1845 . . . . . . . 8 (∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))
3130exlimivv 1847 . . . . . . 7 (∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))
3224, 25, 313syl 18 . . . . . 6 (((¬ 3 < (#‘𝑉) ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))
3332exp31 628 . . . . 5 (¬ 3 < (#‘𝑉) → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ Fin → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))))
3433com14 94 . . . 4 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ Fin → (¬ 3 < (#‘𝑉) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))))
35343imp 1249 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (¬ 3 < (#‘𝑉) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))
3635com12 32 . 2 (¬ 3 < (#‘𝑉) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺)))
377, 36pm2.61i 175 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ (Edg‘𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127  {ctp 4129   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  Fincfn 7841  ℝcr 9814  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954  3c3 10948  ℕ0cn0 11169  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  Edgcedga 25792   FriendGraph cfrgr 41428 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-3o 7449  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-ac 8822  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-reps 13161  df-csh 13386  df-s2 13444  df-s3 13445  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-phi 15309  df-vtx 25675  df-iedg 25676  df-uhgr 25724  df-ushgr 25725  df-upgr 25749  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-uspgr 40380  df-usgr 40381  df-fusgr 40536  df-nbgr 40554  df-vtxdg 40682  df-rgr 40757  df-rusgr 40758  df-1wlks 40800  df-wlks 40801  df-wlkson 40802  df-trls 40901  df-trlson 40902  df-pths 40923  df-spths 40924  df-pthson 40925  df-spthson 40926  df-wwlks 41033  df-wwlksn 41034  df-wwlksnon 41035  df-wspthsn 41036  df-wspthsnon 41037  df-clwwlks 41185  df-clwwlksn 41186  df-conngr 41354  df-frgr 41429 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator