Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmf 15184
 Description: Characterization of the least common multiple of a set of integers (without 0): A positiven integer is the least common multiple of a set of integers iff it divides each of the elements of the set and every integer which divides each of the elements of the set is greater than or equal to this integer. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmf ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 = (lcm𝑍) ↔ (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐾,𝑚   𝑘,𝑍,𝑚

Proof of Theorem lcmf
StepHypRef Expression
1 dvdslcmf 15182 . . . . . 6 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍))
213adant3 1074 . . . . 5 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍))
3 lcmfledvds 15183 . . . . . . 7 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝑘) → (lcm𝑍) ≤ 𝑘))
43expdimp 452 . . . . . 6 (((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 → (lcm𝑍) ≤ 𝑘))
54ralrimiva 2949 . . . . 5 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 → (lcm𝑍) ≤ 𝑘))
62, 5jca 553 . . . 4 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 → (lcm𝑍) ≤ 𝑘)))
76adantl 481 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 → (lcm𝑍) ≤ 𝑘)))
8 breq2 4587 . . . . 5 (𝐾 = (lcm𝑍) → (𝑚𝐾𝑚 ∥ (lcm𝑍)))
98ralbidv 2969 . . . 4 (𝐾 = (lcm𝑍) → (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ↔ ∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍)))
10 breq1 4586 . . . . . 6 (𝐾 = (lcm𝑍) → (𝐾𝑘 ↔ (lcm𝑍) ≤ 𝑘))
1110imbi2d 329 . . . . 5 (𝐾 = (lcm𝑍) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘) ↔ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 → (lcm𝑍) ≤ 𝑘)))
1211ralbidv 2969 . . . 4 (𝐾 = (lcm𝑍) → (∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 → (lcm𝑍) ≤ 𝑘)))
139, 12anbi12d 743 . . 3 (𝐾 = (lcm𝑍) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) ↔ (∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 → (lcm𝑍) ≤ 𝑘))))
147, 13syl5ibrcom 236 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 = (lcm𝑍) → (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘))))
15 lcmfn0cl 15177 . . . . . 6 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm𝑍) ∈ ℕ)
1615adantl 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (lcm𝑍) ∈ ℕ)
17 breq2 4587 . . . . . . . 8 (𝑘 = (lcm𝑍) → (𝑚𝑘𝑚 ∥ (lcm𝑍)))
1817ralbidv 2969 . . . . . . 7 (𝑘 = (lcm𝑍) → (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘 ↔ ∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍)))
19 breq2 4587 . . . . . . 7 (𝑘 = (lcm𝑍) → (𝐾𝑘𝐾 ≤ (lcm𝑍)))
2018, 19imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑘 = (lcm𝑍) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘) ↔ (∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍) → 𝐾 ≤ (lcm𝑍))))
2120rspcv 3278 . . . . 5 ((lcm𝑍) ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘) → (∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍) → 𝐾 ≤ (lcm𝑍))))
2216, 21syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘) → (∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍) → 𝐾 ≤ (lcm𝑍))))
2322adantld 482 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → (∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍) → 𝐾 ≤ (lcm𝑍))))
242adantl 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍))
25 nnre 10904 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
2615nnred 10912 . . . . . . . 8 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (lcm𝑍) ∈ ℝ)
2725, 26anim12i 588 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ (lcm𝑍) ∈ ℝ))
28 leloe 10003 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (lcm𝑍) ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ (lcm𝑍) ↔ (𝐾 < (lcm𝑍) ∨ 𝐾 = (lcm𝑍))))
2927, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 ≤ (lcm𝑍) ↔ (𝐾 < (lcm𝑍) ∨ 𝐾 = (lcm𝑍))))
30 lcmfledvds 15183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍 𝑚𝐾) → (lcm𝑍) ≤ 𝐾))
3130expd 451 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍) → (𝐾 ∈ ℕ → (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 → (lcm𝑍) ≤ 𝐾)))
3231impcom 445 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 → (lcm𝑍) ≤ 𝐾))
33 lenlt 9995 . . . . . . . . . . . . . 14 (((lcm𝑍) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((lcm𝑍) ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < (lcm𝑍)))
3426, 25, 33syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((lcm𝑍) ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < (lcm𝑍)))
35 pm2.21 119 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 < (lcm𝑍) → (𝐾 < (lcm𝑍) → 𝐾 = (lcm𝑍)))
3634, 35syl6bi 242 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((lcm𝑍) ≤ 𝐾 → (𝐾 < (lcm𝑍) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
3732, 36syld 46 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 → (𝐾 < (lcm𝑍) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
3837com12 32 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 < (lcm𝑍) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
3938adantr 480 . . . . . . . . 9 ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 < (lcm𝑍) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
4039com13 86 . . . . . . . 8 (𝐾 < (lcm𝑍) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
41 2a1 28 . . . . . . . 8 (𝐾 = (lcm𝑍) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
4240, 41jaoi 393 . . . . . . 7 ((𝐾 < (lcm𝑍) ∨ 𝐾 = (lcm𝑍)) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
4342com12 32 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((𝐾 < (lcm𝑍) ∨ 𝐾 = (lcm𝑍)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
4429, 43sylbid 229 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 ≤ (lcm𝑍) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
4524, 44embantd 57 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍) → 𝐾 ≤ (lcm𝑍)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
4645com23 84 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚 ∥ (lcm𝑍) → 𝐾 ≤ (lcm𝑍)) → 𝐾 = (lcm𝑍))))
4723, 46mpdd 42 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → ((∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘)) → 𝐾 = (lcm𝑍)))
4814, 47impbid 201 1 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin ∧ 0 ∉ 𝑍)) → (𝐾 = (lcm𝑍) ↔ (∀𝑚𝑍 𝑚𝐾 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (∀𝑚𝑍 𝑚𝑘𝐾𝑘))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∉ wnel 2781  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  ℤcz 11254   ∥ cdvds 14821  lcmclcmf 15140 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-prod 14475  df-dvds 14822  df-lcmf 15142 This theorem is referenced by:  lcmftp  15187  lcmfunsnlem2lem2  15190
 Copyright terms: Public domain W3C validator