Theorem fsuppmapnn0fiub0 12655

Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then all these functions are zero for all integers greater than a fixed integer. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fsuppmapnn0fiub0	⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑓 ∈ 𝑀 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑀,𝑚   𝑅,𝑓,𝑚   𝑓,𝑉,𝑚   𝑓,𝑍,𝑚   𝑥,𝑀   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑍,𝑓,𝑚

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiub0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppmapnn0fiubex 12654	. 2 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚)))
2		ssel2 3563	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0))
3	2	ancoms 468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0)) → 𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0))
4		elmapfn 7766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) → 𝑓 Fn ℕ0)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0)) → 𝑓 Fn ℕ0)
6	5	expcom 450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) → (𝑓 ∈ 𝑀 → 𝑓 Fn ℕ0))
7	6	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑓 ∈ 𝑀 → 𝑓 Fn ℕ0))
8	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑓 ∈ 𝑀 → 𝑓 Fn ℕ0))
9	8	imp 444	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑓 Fn ℕ0)
10		nn0ex 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ V
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → ℕ0 ∈ V)
12		simpll3 1095	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑍 ∈ 𝑉)
13		suppvalfn 7189	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑓 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍})
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍})
15	14	sseq1d 3595	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍} ⊆ (0...𝑚)))
16		rabss 3642	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍} ⊆ (0...𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → 𝑥 ∈ (0...𝑚)))
17	15, 16	syl6bb 275	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → 𝑥 ∈ (0...𝑚))))
18		nne 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 ↔ (𝑓‘𝑥) = 𝑍)
19	18	biimpi 205	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)
20	19	2a1d 26	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
21		elfz2nn0 12300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ≤ 𝑚))
22		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℝ)
23		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℝ)
24		lenlt 9995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝑚 ↔ ¬ 𝑚 < 𝑥))
25	22, 23, 24	syl2an 493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ 𝑚 ↔ ¬ 𝑚 < 𝑥))
26		pm2.21 119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑚 < 𝑥 → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍))
27	25, 26	syl6bi 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ 𝑚 → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
28	27	3impia 1253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ≤ 𝑚) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍))
29	28	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ≤ 𝑚) → (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
30	21, 29	sylbi 206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑚) → (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
31	20, 30	ja 172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → 𝑥 ∈ (0...𝑚)) → (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
32	31	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → 𝑥 ∈ (0...𝑚)) → (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
33	32	ralimdva 2945	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑓‘𝑥) ≠ 𝑍 → 𝑥 ∈ (0...𝑚)) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
34	17, 33	sylbid 229	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → ((𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
35	34	ralimdva 2945	. . 3 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
36	35	reximdva 3000	. 2 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑚) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑓 ∈ 𝑀 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))
37	1, 36	syld 46	1 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑓 ∈ 𝑀 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝑓‘𝑥) = 𝑍)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   supp csupp 7182   ↑_𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158  ℝcr 9814  0cc0 9815   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕ₀cn0 11169  ...cfz 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198

This theorem is referenced by:  pmatcoe1fsupp  20325