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Theorem pmatcoe1fsupp 20325
Description: For a polynomial matrix there is an upper bound for the coefficients of all the polynomials being not 0. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcoe1fsupp.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
pmatcoe1fsupp.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pmatcoe1fsupp.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
pmatcoe1fsupp.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
pmatcoe1fsupp ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 ))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑥,𝑠   𝑖,𝑀,𝑗,𝑥,𝑠   𝑖,𝑁,𝑗,𝑥,𝑠   𝑅,𝑖,𝑗,𝑠,𝑥   0 ,𝑖,𝑗,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑖,𝑗,𝑠)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑗,𝑠)

Proof of Theorem pmatcoe1fsupp
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3650 . . . . . 6 {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 } ⊆ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0)
21a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 } ⊆ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0))
32olcd 407 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ⊆ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∨ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 } ⊆ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0)))
4 inss 3804 . . . 4 (( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ⊆ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∨ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 } ⊆ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0)) → ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0))
53, 4syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0))
6 xpfi 8116 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
76anidms 675 . . . . . 6 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
8 snfi 7923 . . . . . . . 8 {(coe1‘(𝑀𝑢))} ∈ Fin
98a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁)) → {(coe1‘(𝑀𝑢))} ∈ Fin)
109ralrimiva 2949 . . . . . 6 (𝑁 ∈ Fin → ∀𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∈ Fin)
117, 10jca 553 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → ((𝑁 × 𝑁) ∈ Fin ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∈ Fin))
12113ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑁 × 𝑁) ∈ Fin ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∈ Fin))
13 iunfi 8137 . . . 4 (((𝑁 × 𝑁) ∈ Fin ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∈ Fin) → 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∈ Fin)
14 infi 8069 . . . 4 ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∈ Fin → ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ∈ Fin)
1512, 13, 143syl 18 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ∈ Fin)
16 pmatcoe1fsupp.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
17 fvex 6113 . . . . 5 (0g𝑅) ∈ V
1816, 17eqeltri 2684 . . . 4 0 ∈ V
1918a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 0 ∈ V)
20 elin 3758 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ↔ (𝑤 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∧ 𝑤 ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }))
21 breq1 4586 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑤 → (𝑣 finSupp 0𝑤 finSupp 0 ))
2221elrab 3331 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 } ↔ (𝑤 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∧ 𝑤 finSupp 0 ))
2322simprbi 479 . . . . . 6 (𝑤 ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 } → 𝑤 finSupp 0 )
2420, 23simplbiim 657 . . . . 5 (𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) → 𝑤 finSupp 0 )
2524rgen 2906 . . . 4 𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })𝑤 finSupp 0
2625a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })𝑤 finSupp 0 )
27 fsuppmapnn0fiub0 12655 . . . 4 ((( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∧ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ∈ Fin ∧ 0 ∈ V) → (∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })𝑤 finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 )))
2827imp 444 . . 3 (((( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∧ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ∈ Fin ∧ 0 ∈ V) ∧ ∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })𝑤 finSupp 0 ) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 ))
295, 15, 19, 26, 28syl31anc 1321 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 ))
30 opelxpi 5072 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → ⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁))
31 df-ov 6552 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖𝑀𝑗) = (𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩)
3231fveq2i 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) = (coe1‘(𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩))
33 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (coe1‘(𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩)) ∈ V
3433snid 4155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (coe1‘(𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩)) ∈ {(coe1‘(𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩))}
3532, 34eqeltri 2684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {(coe1‘(𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩))}
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {(coe1‘(𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩))})
37 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → (𝑀𝑢) = (𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩))
3837fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → (coe1‘(𝑀𝑢)) = (coe1‘(𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩)))
3938sneqd 4137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = ⟨𝑖, 𝑗⟩ → {(coe1‘(𝑀𝑢))} = {(coe1‘(𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩))})
4039eliuni 4462 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⟨𝑖, 𝑗⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁) ∧ (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {(coe1‘(𝑀‘⟨𝑖, 𝑗⟩))}) → (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))})
4130, 36, 40syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))})
4241adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))})
43 pmatcoe1fsupp.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
44 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
45 pmatcoe1fsupp.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘𝐶)
46 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
47 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
4845eleq2i 2680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐶))
4948biimpi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐶))
50493ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐶))
5150ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐶))
5251, 45syl6eleqr 2699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑀𝐵)
5343, 44, 45, 46, 47, 52matecld 20051 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
54 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑀𝑗))
55 pmatcoe1fsupp.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑃 = (Poly1𝑅)
56 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝑅) = (0g𝑅)
57 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5854, 44, 55, 56, 57coe1fsupp 19405 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑃) → (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp (0g𝑅)})
5953, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp (0g𝑅)})
6016a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 0 = (0g𝑅))
6160breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑣 finSupp 0𝑣 finSupp (0g𝑅)))
6261rabbidv 3164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 } = {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp (0g𝑅)})
6362eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 } ↔ (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp (0g𝑅)}))
6463ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 } ↔ (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp (0g𝑅)}))
6559, 64mpbird 246 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })
6642, 65elind 3760 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }))
67 simplr 788 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
68 fveq1 6102 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) → (𝑤𝑧) = ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑧))
6968eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) → ((𝑤𝑧) = 0 ↔ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑧) = 0 ))
7069imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = (coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) → ((𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑧 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑧) = 0 )))
71 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → (𝑠 < 𝑧𝑠 < 𝑥))
72 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑥 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑧) = ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥))
7372eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → (((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑧) = 0 ↔ ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 ))
7471, 73imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑠 < 𝑧 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑧) = 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 )))
7570, 74rspc2v 3293 . . . . . . . . . . . 12 (((coe1‘(𝑖𝑀𝑗)) ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 }) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 ) → (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 )))
7666, 67, 75syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 ) → (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 )))
7776ex 449 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 ) → (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 ))))
7877com23 84 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 ) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 ))))
7978impancom 455 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 )) → (𝑥 ∈ ℕ0 → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 ))))
8079imp 444 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 )) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑠 < 𝑥 → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 )))
8180com23 84 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 )) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝑥 → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 )))
8281ralrimdvv 2956 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 )) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 ))
8382ralrimiva 2949 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 )) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 ))
8483ex 449 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 ) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 )))
8584reximdva 3000 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ( 𝑢 ∈ (𝑁 × 𝑁){(coe1‘(𝑀𝑢))} ∩ {𝑣 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚0) ∣ 𝑣 finSupp 0 })∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑧 → (𝑤𝑧) = 0 ) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 )))
8629, 85mpd 15 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 ((coe1‘(𝑖𝑀𝑗))‘𝑥) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173  cin 3539  wss 3540  {csn 4125  cop 4131   ciun 4455   class class class wbr 4583   × cxp 5036  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158   < clt 9953  0cn0 11169  Basecbs 15695  0gc0g 15923  Ringcrg 18370  Poly1cpl1 19368  coe1cco1 19369   Mat cmat 20032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-prds 15931  df-pws 15933  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-psr 19177  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-ply1 19373  df-coe1 19374  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-mat 20033
This theorem is referenced by:  decpmataa0  20392  decpmatmulsumfsupp  20397  pmatcollpw2lem  20401  pm2mpmhmlem1  20442
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