Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmatcoe1fsupp Structured version   Unicode version

Theorem pmatcoe1fsupp 19723
 Description: For a polynomial matrix there is an upper bound for the coefficients of all the polynomials being not 0. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcoe1fsupp.p Poly1
pmatcoe1fsupp.c Mat
pmatcoe1fsupp.b
pmatcoe1fsupp.0
Assertion
Ref Expression
pmatcoe1fsupp coe1
Distinct variable groups:   ,,,,   ,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,,)

Proof of Theorem pmatcoe1fsupp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3546 . . . . . 6 finSupp
21a1i 11 . . . . 5 finSupp
32olcd 394 . . . 4 coe1 finSupp
4 inss 3691 . . . 4 coe1 finSupp coe1 finSupp
53, 4syl 17 . . 3 coe1 finSupp
6 xpfi 7851 . . . . . . 7
76anidms 649 . . . . . 6
8 snfi 7660 . . . . . . . 8 coe1
98a1i 11 . . . . . . 7 coe1
109ralrimiva 2836 . . . . . 6 coe1
117, 10jca 534 . . . . 5 coe1
12113ad2ant1 1026 . . . 4 coe1
13 iunfi 7871 . . . 4 coe1 coe1
14 infi 7804 . . . 4 coe1 coe1 finSupp
1512, 13, 143syl 18 . . 3 coe1 finSupp
16 pmatcoe1fsupp.0 . . . . 5
17 fvex 5891 . . . . 5
1816, 17eqeltri 2503 . . . 4
1918a1i 11 . . 3
20 elin 3649 . . . . . 6 coe1 finSupp coe1 finSupp
21 breq1 4426 . . . . . . . . 9 finSupp finSupp
2221elrab 3228 . . . . . . . 8 finSupp finSupp
2322simprbi 465 . . . . . . 7 finSupp finSupp
2423adantl 467 . . . . . 6 coe1 finSupp finSupp
2520, 24sylbi 198 . . . . 5 coe1 finSupp finSupp
2625rgen 2781 . . . 4 coe1 finSupp finSupp
2726a1i 11 . . 3 coe1 finSupp finSupp
28 fsuppmapnn0fiub0 12211 . . . 4 coe1 finSupp coe1 finSupp coe1 finSupp finSupp coe1 finSupp
2928imp 430 . . 3 coe1 finSupp coe1 finSupp coe1 finSupp finSupp coe1 finSupp
305, 15, 19, 27, 29syl31anc 1267 . 2 coe1 finSupp
31 opelxpi 4885 . . . . . . . . . . . . . . . 16
32 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3332adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3433fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 coe1 coe1
3534sneqd 4010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 coe1 coe1
3635eleq2d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 coe1 coe1 coe1 coe1
37 df-ov 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3938eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4039fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 coe1 coe1
4140sneqd 4010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 coe1 coe1
4241eleq2d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 coe1 coe1 coe1 coe1
4336, 42bitrd 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 coe1 coe1 coe1 coe1
44 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 coe1
4544snid 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 coe1 coe1
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 coe1 coe1
4731, 43, 46rspcedvd 3187 . . . . . . . . . . . . . . 15 coe1 coe1
4847adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14 coe1 coe1
49 eliun 4304 . . . . . . . . . . . . . 14 coe1 coe1 coe1 coe1
5048, 49sylibr 215 . . . . . . . . . . . . 13 coe1 coe1
51 pmatcoe1fsupp.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 Mat
52 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . 16
53 pmatcoe1fsupp.b . . . . . . . . . . . . . . . 16
54 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5653eleq2i 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5756biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
58573ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5958ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6059, 56sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6151, 52, 53, 54, 55, 60matecld 19449 . . . . . . . . . . . . . . 15
62 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 coe1 coe1
63 pmatcoe1fsupp.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly1
64 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . 16
65 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6662, 52, 63, 64, 65coe1fsupp 18806 . . . . . . . . . . . . . . 15 coe1 finSupp
6761, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 coe1 finSupp
6816a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6968breq2d 4435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 finSupp finSupp
7069rabbidv 3071 . . . . . . . . . . . . . . . 16 finSupp finSupp
7170eleq2d 2492 . . . . . . . . . . . . . . 15 coe1 finSupp coe1 finSupp
7271ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . 14 coe1 finSupp coe1 finSupp
7367, 72mpbird 235 . . . . . . . . . . . . 13 coe1 finSupp
7450, 73elind 3650 . . . . . . . . . . . 12 coe1 coe1 finSupp
75 simplr 760 . . . . . . . . . . . 12
76 fveq1 5880 . . . . . . . . . . . . . . 15 coe1 coe1
7776eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . . . 14 coe1 coe1
7877imbi2d 317 . . . . . . . . . . . . 13 coe1 coe1
79 breq2 4427 . . . . . . . . . . . . . 14
80 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15 coe1 coe1
8180eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . . . 14 coe1 coe1
8279, 81imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . 13 coe1 coe1
8378, 82rspc2v 3191 . . . . . . . . . . . 12 coe1 coe1 finSupp coe1 finSupp coe1
8474, 75, 83syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11 coe1 finSupp coe1
8584ex 435 . . . . . . . . . 10 coe1 finSupp coe1
8685com23 81 . . . . . . . . 9 coe1 finSupp coe1
8786impancom 441 . . . . . . . 8 coe1 finSupp coe1
8887imp 430 . . . . . . 7 coe1 finSupp coe1
8988com23 81 . . . . . 6 coe1 finSupp coe1
9089ralrimdvv 2845 . . . . 5 coe1 finSupp coe1
9190ralrimiva 2836 . . . 4 coe1 finSupp coe1
9291ex 435 . . 3 coe1 finSupp coe1
9392reximdva 2897 . 2 coe1 finSupp coe1
9430, 93mpd 15 1 coe1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wo 369   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872  wral 2771  wrex 2772  crab 2775  cvv 3080   cin 3435   wss 3436  csn 3998  cop 4004  ciun 4299   class class class wbr 4423   cxp 4851  cfv 5601  (class class class)co 6305   cmap 7483  cfn 7580   finSupp cfsupp 7892   clt 9682  cn0 10876  cbs 15120  c0g 15337  crg 17779  Poly1cpl1 18769  coe1cco1 18770   Mat cmat 19430 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-ot 4007  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-sup 7965  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-hom 15213  df-cco 15214  df-0g 15339  df-prds 15345  df-pws 15347  df-sra 18394  df-rgmod 18395  df-psr 18579  df-mpl 18581  df-opsr 18583  df-psr1 18772  df-ply1 18774  df-coe1 18775  df-dsmm 19293  df-frlm 19308  df-mat 19431 This theorem is referenced by:  decpmataa0  19790  decpmatmulsumfsupp  19795  pmatcollpw2lem  19799  pm2mpmhmlem1  19840
 Copyright terms: Public domain W3C validator