Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1fsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1fsupp 19405
 Description: The coefficient vector of a univariate polynomial is a finitely supported mapping from the nonnegative integers to the elements of the coefficient class/ring for the polynomial. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sfi.a 𝐴 = (coe1𝐹)
coe1sfi.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sfi.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1sfi.z 0 = (0g𝑅)
coe1fvalcl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1fsupp (𝐹𝐵𝐴 ∈ {𝑔 ∈ (𝐾𝑚0) ∣ 𝑔 finSupp 0 })
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐾   0 ,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝑃(𝑔)   𝑅(𝑔)   𝐹(𝑔)

Proof of Theorem coe1fsupp
StepHypRef Expression
1 coe1sfi.a . . . 4 𝐴 = (coe1𝐹)
2 coe1sfi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 coe1sfi.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 coe1fvalcl.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
51, 2, 3, 4coe1f 19402 . . 3 (𝐹𝐵𝐴:ℕ0𝐾)
6 fvex 6113 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
74, 6eqeltri 2684 . . . . 5 𝐾 ∈ V
8 nn0ex 11175 . . . . 5 0 ∈ V
97, 8pm3.2i 470 . . . 4 (𝐾 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V)
10 elmapg 7757 . . . 4 ((𝐾 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ (𝐾𝑚0) ↔ 𝐴:ℕ0𝐾))
119, 10mp1i 13 . . 3 (𝐹𝐵 → (𝐴 ∈ (𝐾𝑚0) ↔ 𝐴:ℕ0𝐾))
125, 11mpbird 246 . 2 (𝐹𝐵𝐴 ∈ (𝐾𝑚0))
13 coe1sfi.z . . 3 0 = (0g𝑅)
141, 2, 3, 13coe1sfi 19404 . 2 (𝐹𝐵𝐴 finSupp 0 )
15 breq1 4586 . . 3 (𝑔 = 𝐴 → (𝑔 finSupp 0𝐴 finSupp 0 ))
1615elrab 3331 . 2 (𝐴 ∈ {𝑔 ∈ (𝐾𝑚0) ∣ 𝑔 finSupp 0 } ↔ (𝐴 ∈ (𝐾𝑚0) ∧ 𝐴 finSupp 0 ))
1712, 14, 16sylanbrc 695 1 (𝐹𝐵𝐴 ∈ {𝑔 ∈ (𝐾𝑚0) ∣ 𝑔 finSupp 0 })
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744   finSupp cfsupp 8158  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  0gc0g 15923  Poly1cpl1 19368  coe1cco1 19369 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-ple 15788  df-psr 19177  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-ply1 19373  df-coe1 19374 This theorem is referenced by:  mptcoe1fsupp  19406  coe1ae0  19407  pmatcoe1fsupp  20325  mptcoe1matfsupp  20426  mp2pm2mplem4  20433
 Copyright terms: Public domain W3C validator