Theorem inffzOLD 30868

Description: The infimum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) Obsolete version of inffz 30867 as of 10-Oct-2021. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
inffzOLD	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → sup((𝑀...𝑁), ℤ, ◡ < ) = 𝑀)

Proof of Theorem inffzOLD

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 11261	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
2		ltso 9997	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ
3		soss 4977	. . . . 5 ⊢ (ℤ ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℤ))
4	1, 2, 3	mp2 9	. . . 4 ⊢ < Or ℤ
5		cnvso 5591	. . . 4 ⊢ ( < Or ℤ ↔ ◡ < Or ℤ)
6	4, 5	mpbi 219	. . 3 ⊢ ◡ < Or ℤ
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ◡ < Or ℤ)
8		eluzel2 11568	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9		eluzfz1 12219	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
10		elfzle1 12215	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑥)
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
12	8	zred 11358	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
13		elfzelz 12213	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
14	13	zred 11358	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
15		lenlt 9995	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
16	12, 14, 15	syl2an 493	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
17	11, 16	mpbid 221	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝑥 < 𝑀)
18		brcnvg 5225	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀◡ < 𝑥 ↔ 𝑥 < 𝑀))
19	18	notbid 307	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (¬ 𝑀◡ < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
20	8, 19	sylan 487	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (¬ 𝑀◡ < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑀))
21	17, 20	mpbird 246	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝑀◡ < 𝑥)
22	7, 8, 9, 21	supmax 8256	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → sup((𝑀...𝑁), ℤ, ◡ < ) = 𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   Or wor 4958  ^◡ccnv 5037  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℝcr 9814   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198

This theorem is referenced by: (None)