MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leloe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leloe 10003
Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than' or 'equals'. (Contributed by NM, 13-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
leloe ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem leloe
StepHypRef Expression
1 lenlt 9995 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
2 eqcom 2617 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴𝐴 = 𝐵)
32orbi1i 541 . . . 4 ((𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 < 𝐵))
4 orcom 401 . . . 4 ((𝐴 = 𝐵𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
53, 4bitri 263 . . 3 ((𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
6 axlttri 9988 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵)))
76ancoms 468 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵)))
87con2bid 343 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵) ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
95, 8syl5rbbr 274 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
101, 9bitrd 267 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  cr 9814   < clt 9953  cle 9954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959
This theorem is referenced by:  ltle  10005  leltne  10006  lelttr  10007  ltletr  10008  letr  10010  leid  10012  ltlen  10017  leloei  10033  leloed  10059  lemul1  10754  lemul1a  10756  squeeze0  10805  fimaxre  10847  sup3  10859  nn0ge0  11195  nn0sub  11220  elnn0z  11267  xlemul1a  11990  modfzo0difsn  12604  om2uzlti  12611  om2uzlt2i  12612  sqlecan  12833  discr  12863  facdiv  12936  facwordi  12938  resqrex  13839  sqrt2irr  14817  lcmf  15184  efgsfo  17975  efgred  17984  itg2mulc  23320  itgabs  23407  dgrlt  23826  sinq12ge0  24064  sineq0  24077  cxpge0  24229  cxplea  24242  cxple2  24243  cxple2a  24245  cxpcn3lem  24288  cxpcn3  24289  cxpaddlelem  24292  cxpaddle  24293  ang180lem3  24341  atanlogaddlem  24440  rlimcnp2  24493  jensen  24515  amgm  24517  htthlem  27158  hiidge0  27339  staddi  28489  stadd3i  28491  poimirlem28  32607  itgaddnclem2  32639  itgabsnc  32649  pellfund14gap  36469  sineq0ALT  38195  icccncfext  38773  iccpartnel  39976  odz2prm2pw  40013  gboge7  40185  bgoldbtbndlem1  40221  ltnltne  40345  elfzolborelfzop1  42103
  Copyright terms: Public domain W3C validator