Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hiidge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hiidge0 27339
 Description: Inner product with self is not negative. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hiidge0 (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))

Proof of Theorem hiidge0
StepHypRef Expression
1 pm2.1 432 . . 3 𝐴 = 0𝐴 = 0)
2 df-ne 2782 . . . . . 6 (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
3 ax-his4 27326 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
42, 3sylan2br 492 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝐴 = 0) → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴))
54ex 449 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (¬ 𝐴 = 0 → 0 < (𝐴 ·ih 𝐴)))
6 oveq1 6556 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (𝐴 ·ih 𝐴) = (0 ·ih 𝐴))
7 hi01 27337 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝐴) = 0)
86, 7sylan9eqr 2666 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 ·ih 𝐴) = 0)
98eqcomd 2616 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 = 0) → 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))
109ex 449 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0 → 0 = (𝐴 ·ih 𝐴)))
115, 10orim12d 879 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → ((¬ 𝐴 = 0𝐴 = 0) → (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))))
121, 11mpi 20 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴)))
13 0re 9919 . . 3 0 ∈ ℝ
14 hiidrcl 27336 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
15 leloe 10003 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴) ↔ (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))))
1613, 14, 15sylancr 694 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴) ↔ (0 < (𝐴 ·ih 𝐴) ∨ 0 = (𝐴 ·ih 𝐴))))
1712, 16mpbird 246 1 (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   < clt 9953   ≤ cle 9954   ℋchil 27160   ·ih csp 27163  0ℎc0v 27165 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-hv0cl 27244  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his3 27325  ax-his4 27326 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689 This theorem is referenced by:  normlem5  27355  normlem6  27356  normlem7  27357  normf  27364  normge0  27367  normgt0  27368  normsqi  27373  norm-ii-i  27378  norm-iii-i  27380  bcsiALT  27420  pjhthlem1  27634  cnlnadjlem7  28316  branmfn  28348  leopsq  28372  idleop  28374
 Copyright terms: Public domain W3C validator