HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hiidge0 Unicode version

Theorem hiidge0 22553
Description: Inner product with self is not negative. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hiidge0  |-  ( A  e.  ~H  ->  0  <_  ( A  .ih  A
) )

Proof of Theorem hiidge0
StepHypRef Expression
1 pm2.1 407 . . 3  |-  ( -.  A  =  0h  \/  A  =  0h )
2 df-ne 2569 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  0h  <->  -.  A  =  0h )
3 ax-his4 22540 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <  ( A  .ih  A ) )
42, 3sylan2br 463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  -.  A  =  0h )  ->  0  <  ( A  .ih  A ) )
54ex 424 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( -.  A  =  0h  ->  0  <  ( A 
.ih  A ) ) )
6 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0h  ->  ( A  .ih  A )  =  ( 0h  .ih  A
) )
7 hi01 22551 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( 0h  .ih  A )  =  0 )
86, 7sylan9eqr 2458 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =  0h )  ->  ( A  .ih  A
)  =  0 )
98eqcomd 2409 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =  0h )  ->  0  =  ( A 
.ih  A ) )
109ex 424 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  =  0h  ->  0  =  ( A  .ih  A ) ) )
115, 10orim12d 812 . . 3  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( -.  A  =  0h  \/  A  =  0h )  ->  (
0  <  ( A  .ih  A )  \/  0  =  ( A  .ih  A ) ) ) )
121, 11mpi 17 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
0  <  ( A  .ih  A )  \/  0  =  ( A  .ih  A ) ) )
13 0re 9047 . . 3  |-  0  e.  RR
14 hiidrcl 22550 . . 3  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  .ih  A )  e.  RR )
15 leloe 9117 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( A  .ih  A )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  ( A  .ih  A )  <->  ( 0  <  ( A  .ih  A )  \/  0  =  ( A  .ih  A
) ) ) )
1613, 14, 15sylancr 645 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
0  <_  ( A  .ih  A )  <->  ( 0  <  ( A  .ih  A )  \/  0  =  ( A  .ih  A
) ) ) )
1712, 16mpbird 224 1  |-  ( A  e.  ~H  ->  0  <_  ( A  .ih  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946    < clt 9076    <_ cle 9077   ~Hchil 22375    .ih csp 22378   0hc0v 22380
This theorem is referenced by:  normlem5  22569  normlem6  22570  normlem7  22571  normf  22578  normge0  22581  normgt0  22582  normsqi  22587  norm-ii-i  22592  norm-iii-i  22594  bcsiALT  22634  pjhthlem1  22846  cnlnadjlem7  23529  branmfn  23561  leopsq  23585  idleop  23587
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-hv0cl 22459  ax-hvmul0 22466  ax-hfi 22534  ax-his1 22537  ax-his3 22539  ax-his4 22540
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-2 10014  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861
  Copyright terms: Public domain W3C validator