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Theorem normlem6 27356
 Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 2-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3 𝐺 ∈ ℋ
normlem2.4 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
normlem3.5 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
normlem3.6 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
normlem6.7 (abs‘𝑆) = 1
Assertion
Ref Expression
normlem6 (abs‘𝐵) ≤ (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶)))

Proof of Theorem normlem6
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 normlem3.5 . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
2 normlem1.3 . . . . . . . . . 10 𝐺 ∈ ℋ
3 hiidrcl 27336 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ ℋ → (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ
51, 4eqeltri 2684 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐴 ∈ ℝ)
7 normlem1.1 . . . . . . . . 9 𝑆 ∈ ℂ
8 normlem1.2 . . . . . . . . 9 𝐹 ∈ ℋ
9 normlem2.4 . . . . . . . . 9 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
107, 8, 2, 9normlem2 27352 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐵 ∈ ℝ)
12 normlem3.6 . . . . . . . . 9 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
13 hiidrcl 27336 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ℋ → (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ)
148, 13ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ
1512, 14eqeltri 2684 . . . . . . . 8 𝐶 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐶 ∈ ℝ)
17 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (𝑥↑2) = (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2))
1817oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)))
19 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)))
2018, 19oveq12d 6567 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))))
2120oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) = (((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))) + 𝐶))
2221breq2d 4595 . . . . . . . . 9 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) ↔ 0 ≤ (((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))) + 𝐶)))
23 0re 9919 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
2423elimel 4100 . . . . . . . . . 10 if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ ℝ
25 normlem6.7 . . . . . . . . . 10 (abs‘𝑆) = 1
267, 8, 2, 9, 1, 12, 24, 25normlem5 27355 . . . . . . . . 9 0 ≤ (((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))) + 𝐶)
2722, 26dedth 4089 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
2827adantl 481 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
296, 11, 16, 28discr 12863 . . . . . 6 (⊤ → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)
3029trud 1484 . . . . 5 ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0
3110resqcli 12811 . . . . . 6 (𝐵↑2) ∈ ℝ
32 4re 10974 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
335, 15remulcli 9933 . . . . . . 7 (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ
3432, 33remulcli 9933 . . . . . 6 (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ
3531, 34, 23lesubadd2i 10467 . . . . 5 (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0 ↔ (𝐵↑2) ≤ ((4 · (𝐴 · 𝐶)) + 0))
3630, 35mpbi 219 . . . 4 (𝐵↑2) ≤ ((4 · (𝐴 · 𝐶)) + 0)
3734recni 9931 . . . . 5 (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ
3837addid1i 10102 . . . 4 ((4 · (𝐴 · 𝐶)) + 0) = (4 · (𝐴 · 𝐶))
3936, 38breqtri 4608 . . 3 (𝐵↑2) ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶))
4010sqge0i 12813 . . . 4 0 ≤ (𝐵↑2)
41 4pos 10993 . . . . . 6 0 < 4
4223, 32, 41ltleii 10039 . . . . 5 0 ≤ 4
43 hiidge0 27339 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺))
442, 43ax-mp 5 . . . . . . 7 0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺)
4544, 1breqtrri 4610 . . . . . 6 0 ≤ 𝐴
46 hiidge0 27339 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹))
478, 46ax-mp 5 . . . . . . 7 0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹)
4847, 12breqtrri 4610 . . . . . 6 0 ≤ 𝐶
495, 15mulge0i 10454 . . . . . 6 ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐶))
5045, 48, 49mp2an 704 . . . . 5 0 ≤ (𝐴 · 𝐶)
5132, 33mulge0i 10454 . . . . 5 ((0 ≤ 4 ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐶)) → 0 ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶)))
5242, 50, 51mp2an 704 . . . 4 0 ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶))
5331, 34sqrtlei 13976 . . . 4 ((0 ≤ (𝐵↑2) ∧ 0 ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶))) → ((𝐵↑2) ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶)))))
5440, 52, 53mp2an 704 . . 3 ((𝐵↑2) ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶))))
5539, 54mpbi 219 . 2 (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶)))
5610absrei 13969 . 2 (abs‘𝐵) = (√‘(𝐵↑2))
5732, 33, 42, 50sqrtmulii 13974 . . 3 (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶))) = ((√‘4) · (√‘(𝐴 · 𝐶)))
58 sqrt4 13861 . . . 4 (√‘4) = 2
595, 15, 45, 48sqrtmulii 13974 . . . 4 (√‘(𝐴 · 𝐶)) = ((√‘𝐴) · (√‘𝐶))
6058, 59oveq12i 6561 . . 3 ((√‘4) · (√‘(𝐴 · 𝐶))) = (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶)))
6157, 60eqtr2i 2633 . 2 (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶))) = (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶)))
6255, 56, 613brtr4i 4613 1 (abs‘𝐵) ≤ (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977  ifcif 4036   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146  2c2 10947  4c4 10949  ↑cexp 12722  ∗ccj 13684  √csqrt 13821  abscabs 13822   ℋchil 27160   ·ih csp 27163 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-hfvadd 27241  ax-hv0cl 27244  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulass 27248  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-hvsub 27212 This theorem is referenced by:  normlem7  27357
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