MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpaddlelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpaddlelem 24292
Description: Lemma for cxpaddle 24293. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpaddlelem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cxpaddlelem.2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
cxpaddlelem.3 (𝜑𝐴 ≤ 1)
cxpaddlelem.4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
cxpaddlelem.5 (𝜑𝐵 ≤ 1)
Assertion
Ref Expression
cxpaddlelem (𝜑𝐴 ≤ (𝐴𝑐𝐵))

Proof of Theorem cxpaddlelem
StepHypRef Expression
1 cxpaddlelem.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 cxpaddlelem.2 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3 1re 9918 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
4 cxpaddlelem.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
54rpred 11748 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6 resubcl 10224 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
73, 5, 6sylancr 694 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
81, 2, 7recxpcld 24269 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
98adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
10 1red 9934 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
11 recxpcl 24221 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝑐𝐵) ∈ ℝ)
12 cxpge0 24229 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵))
1311, 12jca 553 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵)))
141, 2, 5, 13syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵)))
1514adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵)))
16 cxpaddlelem.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≤ 1)
1716ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 𝐴 ≤ 1)
181ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
192ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 0 ≤ 𝐴)
20 1red 9934 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 1 ∈ ℝ)
21 0le1 10430 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 0 ≤ 1)
23 difrp 11744 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 < 1 ↔ (1 − 𝐵) ∈ ℝ+))
245, 3, 23sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 < 1 ↔ (1 − 𝐵) ∈ ℝ+))
2524adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 < 1 ↔ (1 − 𝐵) ∈ ℝ+))
2625biimpa 500 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (1 − 𝐵) ∈ ℝ+)
2718, 19, 20, 22, 26cxple2d 24273 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (𝐴 ≤ 1 ↔ (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) ≤ (1↑𝑐(1 − 𝐵))))
2817, 27mpbid 221 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) ≤ (1↑𝑐(1 − 𝐵)))
297recnd 9947 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
30291cxpd 24253 . . . . . . 7 (𝜑 → (1↑𝑐(1 − 𝐵)) = 1)
3130ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (1↑𝑐(1 − 𝐵)) = 1)
3228, 31breqtrd 4609 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1)
33 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → 𝐵 = 1)
3433oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (1 − 𝐵) = (1 − 1))
35 1m1e0 10966 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
3634, 35syl6eq 2660 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (1 − 𝐵) = 0)
3736oveq2d 6565 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) = (𝐴𝑐0))
381recnd 9947 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3938ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
4039cxp0d 24251 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴𝑐0) = 1)
4137, 40eqtrd 2644 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) = 1)
42 1le1 10534 . . . . . 6 1 ≤ 1
4341, 42syl6eqbr 4622 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1)
44 cxpaddlelem.5 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ≤ 1)
45 leloe 10003 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 1 ↔ (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1)))
465, 3, 45sylancl 693 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ≤ 1 ↔ (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1)))
4744, 46mpbid 221 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1))
4847adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1))
4932, 43, 48mpjaodan 823 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1)
50 lemul1a 10756 . . . 4 ((((𝐴𝑐(1 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵))) ∧ (𝐴𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1) → ((𝐴𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴𝑐𝐵)) ≤ (1 · (𝐴𝑐𝐵)))
519, 10, 15, 49, 50syl31anc 1321 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴𝑐𝐵)) ≤ (1 · (𝐴𝑐𝐵)))
52 ax-1cn 9873 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
535recnd 9947 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
54 npcan 10169 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐵) + 𝐵) = 1)
5552, 53, 54sylancr 694 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − 𝐵) + 𝐵) = 1)
5655adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((1 − 𝐵) + 𝐵) = 1)
5756oveq2d 6565 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴𝑐((1 − 𝐵) + 𝐵)) = (𝐴𝑐1))
5838adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
591anim1i 590 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
60 elrp 11710 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
6159, 60sylibr 223 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
6261rpne0d 11753 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
6329adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
6453adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6558, 62, 63, 64cxpaddd 24263 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴𝑐((1 − 𝐵) + 𝐵)) = ((𝐴𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴𝑐𝐵)))
6638cxp1d 24252 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑐1) = 𝐴)
6766adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴𝑐1) = 𝐴)
6857, 65, 673eqtr3d 2652 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴𝑐𝐵)) = 𝐴)
6938, 53cxpcld 24254 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑐𝐵) ∈ ℂ)
7069mulid2d 9937 . . . 4 (𝜑 → (1 · (𝐴𝑐𝐵)) = (𝐴𝑐𝐵))
7170adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 · (𝐴𝑐𝐵)) = (𝐴𝑐𝐵))
7251, 68, 713brtr3d 4614 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴𝑐𝐵))
731, 2, 5cxpge0d 24270 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵))
74 breq1 4586 . . . 4 (0 = 𝐴 → (0 ≤ (𝐴𝑐𝐵) ↔ 𝐴 ≤ (𝐴𝑐𝐵)))
7573, 74syl5ibcom 234 . . 3 (𝜑 → (0 = 𝐴𝐴 ≤ (𝐴𝑐𝐵)))
7675imp 444 . 2 ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴𝑐𝐵))
77 0re 9919 . . . 4 0 ∈ ℝ
78 leloe 10003 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
7977, 1, 78sylancr 694 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
802, 79mpbid 221 . 2 (𝜑 → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
8172, 76, 80mpjaodan 823 1 (𝜑𝐴 ≤ (𝐴𝑐𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  +crp 11708  𝑐ccxp 24106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108
This theorem is referenced by:  cxpaddle  24293
  Copyright terms: Public domain W3C validator