MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxple2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxple2 24243
Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxple2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))

Proof of Theorem cxple2
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1105 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 simpr 476 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
31, 2elrpd 11745 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
43adantr 480 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ+)
5 simp2l 1080 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
65ad2antrr 758 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 simpr 476 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
86, 7elrpd 11745 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
9 simp3 1056 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
109ad2antrr 758 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ+)
11 simp3 1056 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
1211rpred 11748 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
13 relogcl 24126 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
14133ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
1512, 14remulcld 9949 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
16 relogcl 24126 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ+ → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
17163ad2ant2 1076 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
1812, 17remulcld 9949 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (log‘𝐵)) ∈ ℝ)
19 efle 14687 . . . . . 6 (((𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐶 · (log‘𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝐶 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐶 · (log‘𝐵)) ↔ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) ≤ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵)))))
2015, 18, 19syl2anc 691 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐶 · (log‘𝐵)) ↔ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) ≤ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵)))))
21 efle 14687 . . . . . . 7 (((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (log‘𝐵) ∈ ℝ) → ((log‘𝐴) ≤ (log‘𝐵) ↔ (exp‘(log‘𝐴)) ≤ (exp‘(log‘𝐵))))
2214, 17, 21syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴) ≤ (log‘𝐵) ↔ (exp‘(log‘𝐴)) ≤ (exp‘(log‘𝐵))))
2314, 17, 11lemul2d 11792 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴) ≤ (log‘𝐵) ↔ (𝐶 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐶 · (log‘𝐵))))
24 reeflog 24131 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
25243ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
26 reeflog 24131 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
27263ad2ant2 1076 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
2825, 27breq12d 4596 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → ((exp‘(log‘𝐴)) ≤ (exp‘(log‘𝐵)) ↔ 𝐴𝐵))
2922, 23, 283bitr3rd 298 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐶 · (log‘𝐵))))
30 rpre 11715 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
31303ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
3231recnd 9947 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
33 rpne0 11724 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≠ 0)
34333ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≠ 0)
3512recnd 9947 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
36 cxpef 24211 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))))
3732, 34, 35, 36syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))))
38 rpre 11715 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
39383ad2ant2 1076 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
4039recnd 9947 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
41 rpne0 11724 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 0)
42413ad2ant2 1076 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 0)
43 cxpef 24211 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵))))
4440, 42, 35, 43syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵))))
4537, 44breq12d 4596 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶) ↔ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) ≤ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵)))))
4620, 29, 453bitr4d 299 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
474, 8, 10, 46syl3anc 1318 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
48 0re 9919 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
49 simp1l 1078 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
50 ltnle 9996 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
5148, 49, 50sylancr 694 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
5251biimpa 500 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ 0)
539rpred 11748 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
5453adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
55 rpcxpcl 24222 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+)
563, 54, 55syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+)
57 rpgt0 11720 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+ → 0 < (𝐴𝑐𝐶))
58 rpre 11715 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+ → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ)
59 ltnle 9996 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ) → (0 < (𝐴𝑐𝐶) ↔ ¬ (𝐴𝑐𝐶) ≤ 0))
6048, 58, 59sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+ → (0 < (𝐴𝑐𝐶) ↔ ¬ (𝐴𝑐𝐶) ≤ 0))
6157, 60mpbid 221 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+ → ¬ (𝐴𝑐𝐶) ≤ 0)
6256, 61syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴𝑐𝐶) ≤ 0)
6353recnd 9947 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
649rpne0d 11753 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ≠ 0)
65 0cxp 24212 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐶) = 0)
6663, 64, 65syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0↑𝑐𝐶) = 0)
6766adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (0↑𝑐𝐶) = 0)
6867breq2d 4595 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴𝑐𝐶) ≤ (0↑𝑐𝐶) ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ 0))
6962, 68mtbird 314 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (0↑𝑐𝐶))
7052, 692falsed 365 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ≤ 0 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (0↑𝑐𝐶)))
71 breq2 4587 . . . . . 6 (0 = 𝐵 → (𝐴 ≤ 0 ↔ 𝐴𝐵))
72 oveq1 6556 . . . . . . 7 (0 = 𝐵 → (0↑𝑐𝐶) = (𝐵𝑐𝐶))
7372breq2d 4595 . . . . . 6 (0 = 𝐵 → ((𝐴𝑐𝐶) ≤ (0↑𝑐𝐶) ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
7471, 73bibi12d 334 . . . . 5 (0 = 𝐵 → ((𝐴 ≤ 0 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (0↑𝑐𝐶)) ↔ (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶))))
7570, 74syl5ibcom 234 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (0 = 𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶))))
7675imp 444 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
77 simp2r 1081 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐵)
78 leloe 10003 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
7948, 5, 78sylancr 694 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
8077, 79mpbid 221 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
8180adantr 480 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
8247, 76, 81mpjaodan 823 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
83 simpr 476 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
84 simpl2r 1108 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
8583, 84eqbrtrrd 4607 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐴𝐵)
8666adantr 480 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → (0↑𝑐𝐶) = 0)
8783oveq1d 6564 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → (0↑𝑐𝐶) = (𝐴𝑐𝐶))
8886, 87eqtr3d 2646 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = (𝐴𝑐𝐶))
89 simpl2l 1107 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9053adantr 480 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
91 cxpge0 24229 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵𝐶 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐵𝑐𝐶))
9289, 84, 90, 91syl3anc 1318 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 0 ≤ (𝐵𝑐𝐶))
9388, 92eqbrtrrd 4607 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶))
9485, 932thd 254 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
95 simp1r 1079 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐴)
96 leloe 10003 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
9748, 49, 96sylancr 694 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
9895, 97mpbid 221 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
9982, 94, 98mpjaodan 823 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815   · cmul 9820   < clt 9953  cle 9954  +crp 11708  expce 14631  logclog 24105  𝑐ccxp 24106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108
This theorem is referenced by:  cxplt2  24244  cxple2a  24245  cxple2d  24273
  Copyright terms: Public domain W3C validator