Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gboge7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gboge7 40185
 Description: Any odd Goldbach number is greater than or equal to 7. Because of 7gbo 40194, this bound is strict. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
gboge7 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → 7 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem gboge7
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gbogt5 40184 . 2 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → 5 < 𝑍)
2 gbopos 40181 . . . 4 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → 𝑍 ∈ ℕ)
3 5nn 11065 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ
43nnzi 11278 . . . . . 6 5 ∈ ℤ
5 nnz 11276 . . . . . 6 (𝑍 ∈ ℕ → 𝑍 ∈ ℤ)
6 zltp1le 11304 . . . . . 6 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (5 < 𝑍 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑍))
74, 5, 6sylancr 694 . . . . 5 (𝑍 ∈ ℕ → (5 < 𝑍 ↔ (5 + 1) ≤ 𝑍))
87biimpd 218 . . . 4 (𝑍 ∈ ℕ → (5 < 𝑍 → (5 + 1) ≤ 𝑍))
92, 8syl 17 . . 3 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → (5 < 𝑍 → (5 + 1) ≤ 𝑍))
10 5p1e6 11032 . . . . . 6 (5 + 1) = 6
1110breq1i 4590 . . . . 5 ((5 + 1) ≤ 𝑍 ↔ 6 ≤ 𝑍)
12 6re 10978 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
132nnred 10912 . . . . . 6 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → 𝑍 ∈ ℝ)
14 leloe 10003 . . . . . 6 ((6 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (6 ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
1512, 13, 14sylancr 694 . . . . 5 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → (6 ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
1611, 15syl5bb 271 . . . 4 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → ((5 + 1) ≤ 𝑍 ↔ (6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍)))
17 6nn 11066 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ
1817nnzi 11278 . . . . . . 7 6 ∈ ℤ
192nnzd 11357 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → 𝑍 ∈ ℤ)
20 zltp1le 11304 . . . . . . . 8 ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (6 < 𝑍 ↔ (6 + 1) ≤ 𝑍))
2120biimpd 218 . . . . . . 7 ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (6 < 𝑍 → (6 + 1) ≤ 𝑍))
2218, 19, 21sylancr 694 . . . . . 6 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → (6 < 𝑍 → (6 + 1) ≤ 𝑍))
23 6p1e7 11033 . . . . . . 7 (6 + 1) = 7
2423breq1i 4590 . . . . . 6 ((6 + 1) ≤ 𝑍 ↔ 7 ≤ 𝑍)
2522, 24syl6ib 240 . . . . 5 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → (6 < 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
26 isgbo 40174 . . . . . 6 (𝑍 ∈ GoldbachOdd ↔ (𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
27 eleq1 2676 . . . . . . . . 9 (6 = 𝑍 → (6 ∈ Odd ↔ 𝑍 ∈ Odd ))
28 6even 40158 . . . . . . . . . 10 6 ∈ Even
29 evennodd 40094 . . . . . . . . . 10 (6 ∈ Even → ¬ 6 ∈ Odd )
30 pm2.21 119 . . . . . . . . . 10 (¬ 6 ∈ Odd → (6 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍))
3128, 29, 30mp2b 10 . . . . . . . . 9 (6 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍)
3227, 31syl6bir 243 . . . . . . . 8 (6 = 𝑍 → (𝑍 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑍))
3332com12 32 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ Odd → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
3433adantr 480 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
3526, 34sylbi 206 . . . . 5 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → (6 = 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
3625, 35jaod 394 . . . 4 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → ((6 < 𝑍 ∨ 6 = 𝑍) → 7 ≤ 𝑍))
3716, 36sylbid 229 . . 3 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → ((5 + 1) ≤ 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
389, 37syld 46 . 2 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → (5 < 𝑍 → 7 ≤ 𝑍))
391, 38mpd 15 1 (𝑍 ∈ GoldbachOdd → 7 ≤ 𝑍)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  5c5 10950  6c6 10951  7c7 10952  ℤcz 11254  ℙcprime 15223   Even ceven 40075   Odd codd 40076   GoldbachOdd cgbo 40168 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-prm 15224  df-even 40077  df-odd 40078  df-gbo 40171 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator