Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elfzolborelfzop1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzolborelfzop1 42103
Description: An element of a half-open integer interval is either equal to the left bound of the interval or an element of a half-open integer interval with a lower bound increased by 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
elfzolborelfzop1 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))

Proof of Theorem elfzolborelfzop1
StepHypRef Expression
1 elfzo2 12342 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2 eluz2 11569 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾))
3 zre 11258 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
4 zre 11258 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
5 leloe 10003 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀𝐾 ↔ (𝑀 < 𝐾𝑀 = 𝐾)))
63, 4, 5syl2an 493 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝐾 ↔ (𝑀 < 𝐾𝑀 = 𝐾)))
7 peano2z 11295 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
87adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
98ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
10 simprlr 799 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
11 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 < 𝐾)
12 zltp1le 11304 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾))
1312ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾))
1411, 13mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝐾)
159, 10, 143jca 1235 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾))
1615adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾))
17 simplrr 797 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
18 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
19 elfzo2 12342 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
20 eluz2 11569 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾))
21203anbi1i 1246 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2219, 21bitri 263 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐾) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2316, 17, 18, 22syl3anbrc 1239 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
2423olcd 407 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 < 𝐾 ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
2524exp31 628 . . . . . . . . 9 (𝑀 < 𝐾 → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))))
26 orc 399 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = 𝑀 → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
2726eqcoms 2618 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝐾 → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
28272a1d 26 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝐾 → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))))
2925, 28jaoi 393 . . . . . . . 8 ((𝑀 < 𝐾𝑀 = 𝐾) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))))
3029expd 451 . . . . . . 7 ((𝑀 < 𝐾𝑀 = 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))))))
3130com12 32 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 < 𝐾𝑀 = 𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))))))
326, 31sylbid 229 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝐾 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))))))
33323impia 1253 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))))
342, 33sylbi 206 . . 3 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))))
35343imp 1249 . 2 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
361, 35sylbi 206 1 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953  cle 9954  cz 11254  cuz 11563  ..^cfzo 12334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335
This theorem is referenced by:  nnpw2blenfzo2  42174
  Copyright terms: Public domain W3C validator