MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leloe Structured version   Unicode version

Theorem leloe 9688
Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than' or 'equals'. (Contributed by NM, 13-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
leloe  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B )
) )

Proof of Theorem leloe
StepHypRef Expression
1 lenlt 9680 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
2 eqcom 2466 . . . . 5  |-  ( B  =  A  <->  A  =  B )
32orbi1i 520 . . . 4  |-  ( ( B  =  A  \/  A  <  B )  <->  ( A  =  B  \/  A  <  B ) )
4 orcom 387 . . . 4  |-  ( ( A  =  B  \/  A  <  B )  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) )
53, 4bitri 249 . . 3  |-  ( ( B  =  A  \/  A  <  B )  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) )
6 axlttri 9673 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  -.  ( B  =  A  \/  A  <  B
) ) )
76ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  -.  ( B  =  A  \/  A  <  B
) ) )
87con2bid 329 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  =  A  \/  A  < 
B )  <->  -.  B  <  A ) )
95, 8syl5rbbr 260 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  < 
A  <->  ( A  < 
B  \/  A  =  B ) ) )
101, 9bitrd 253 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   class class class wbr 4456   RRcr 9508    < clt 9645    <_ cle 9646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-pre-lttri 9583
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651
This theorem is referenced by:  ltle  9690  leltne  9691  lelttr  9692  ltletr  9693  letr  9695  leid  9697  ltlen  9703  leloei  9718  leloed  9745  lemul1  10415  lemul1a  10417  squeeze0  10468  fimaxre  10510  sup3  10520  nn0ge0  10842  nn0sub  10867  elnn0z  10898  xlemul1a  11505  om2uzlti  12064  om2uzlt2i  12065  sqlecan  12277  discr  12306  facdiv  12368  facwordi  12370  resqrex  13096  sqrt2irr  13994  efgsfo  16884  efgred  16893  itg2mulc  22280  itgabs  22367  dgrlt  22789  sinq12ge0  23027  sineq0  23040  cxpge0  23190  cxplea  23203  cxple2  23204  cxple2a  23206  cxpcn3lem  23247  cxpcn3  23248  cxpaddlelem  23251  cxpaddle  23252  ang180lem3  23269  atanlogaddlem  23370  rlimcnp2  23422  jensen  23444  amgm  23446  htthlem  25961  hiidge0  26142  staddi  27292  stadd3i  27294  itgaddnclem2  30279  itgabsnc  30289  pellfund14gap  31027  icccncfext  31893  ltnltne  32585  sineq0ALT  33880
  Copyright terms: Public domain W3C validator