Theorem nmounbi 27015

Description: Two ways two express that an operator is unbounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoubi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoubi.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoubi.l	⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
nmoubi.m	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
nmoubi.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmoubi.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
nmoubi.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmounbi	⊢ (𝑇:𝑋⟶𝑌 → ((𝑁‘𝑇) = +∞ ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑟,𝐿   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑌,𝑟,𝑦   𝑀,𝑟,𝑦   𝑇,𝑟,𝑦   𝑋,𝑟,𝑦   𝑁,𝑟,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑟)   𝑊(𝑟)

Proof of Theorem nmounbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoubi.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		nmoubi.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
3		nmoubi.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
4		nmoubi.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
5		nmoubi.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
6		nmoubi.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
7		nmoubi.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	nmobndi 27014	. . 3 ⊢ (𝑇:𝑋⟶𝑌 → ((𝑁‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑟)))
9	1, 2, 5	nmorepnf 27007	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → ((𝑁‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (𝑁‘𝑇) ≠ +∞))
10	6, 7, 9	mp3an12 1406	. . 3 ⊢ (𝑇:𝑋⟶𝑌 → ((𝑁‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (𝑁‘𝑇) ≠ +∞))
11		ffvelrn 6265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑦) ∈ 𝑌)
12	2, 4	nvcl 26900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ 𝑌) → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ)
13	7, 11, 12	sylancr 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ)
14		lenlt 9995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦))))
15	13, 14	sylan 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦))))
16	15	an32s 842	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦))))
17	16	imbi2d 329	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))
18		imnan 437	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ¬ ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦))))
19	17, 18	syl6bb 275	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ¬ ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))
20	19	ralbidva 2968	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))
21		ralnex 2975	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦))))
22	20, 21	syl6bb 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))
23	22	rexbidva 3031	. . . 4 ⊢ (𝑇:𝑋⟶𝑌 → (∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))
24		rexnal 2978	. . . 4 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℝ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦))))
25	23, 24	syl6bb 275	. . 3 ⊢ (𝑇:𝑋⟶𝑌 → (∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))
26	8, 10, 25	3bitr3d 297	. 2 ⊢ (𝑇:𝑋⟶𝑌 → ((𝑁‘𝑇) ≠ +∞ ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))
27	26	necon4abid 2822	1 ⊢ (𝑇:𝑋⟶𝑌 → ((𝑁‘𝑇) = +∞ ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816  +∞cpnf 9950   < clt 9953   ≤ cle 9954  NrmCVeccnv 26823  BaseSetcba 26825  norm_CVcnmcv 26829   normOp_OLD cnmoo 26980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-nmcv 26839  df-nmoo 26984

This theorem is referenced by:  nmounbseqi  27016  nmounbseqiALT  27017