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Theorem nmounbi 26417
Description: Two ways two express that an operator is unbounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmoubi.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmoubi.l  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmoubi.m  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmoubi.3  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
nmoubi.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmoubi.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmounbi  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  = +oo  <->  A. r  e.  RR  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  r  < 
( M `  ( T `  y )
) ) ) )
Distinct variable groups:    y, r, L    y, U    y, W    Y, r, y    M, r, y    T, r, y    X, r, y    N, r, y
Allowed substitution hints:    U( r)    W( r)

Proof of Theorem nmounbi
StepHypRef Expression
1 nmoubi.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 nmoubi.y . . . 4  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
3 nmoubi.l . . . 4  |-  L  =  ( normCV `  U )
4 nmoubi.m . . . 4  |-  M  =  ( normCV `  W )
5 nmoubi.3 . . . 4  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
6 nmoubi.u . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
7 nmoubi.w . . . 4  |-  W  e.  NrmCVec
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7nmobndi 26416 . . 3  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  e.  RR  <->  E. r  e.  RR  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r ) ) )
91, 2, 5nmorepnf 26409 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  ->  (
( N `  T
)  e.  RR  <->  ( N `  T )  =/= +oo ) )
106, 7, 9mp3an12 1354 . . 3  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  e.  RR  <->  ( N `  T )  =/= +oo ) )
11 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T : X --> Y  /\  y  e.  X )  ->  ( T `  y
)  e.  Y )
122, 4nvcl 26288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( T `  y )  e.  Y )  ->  ( M `  ( T `  y ) )  e.  RR )
137, 11, 12sylancr 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T : X --> Y  /\  y  e.  X )  ->  ( M `  ( T `  y )
)  e.  RR )
14 lenlt 9712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M `  ( T `  y )
)  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( M `  ( T `  y ) )  <_  r  <->  -.  r  <  ( M `  ( T `  y )
) ) )
1513, 14sylan 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  y  e.  X
)  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r  <->  -.  r  <  ( M `  ( T `  y )
) ) )
1615an32s 813 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  r  e.  RR )  /\  y  e.  X
)  ->  ( ( M `  ( T `  y ) )  <_ 
r  <->  -.  r  <  ( M `  ( T `
 y ) ) ) )
1716imbi2d 318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  r  e.  RR )  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r )  <->  ( ( L `  y )  <_  1  ->  -.  r  <  ( M `  ( T `  y )
) ) ) )
18 imnan 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L `  y
)  <_  1  ->  -.  r  <  ( M `
 ( T `  y ) ) )  <->  -.  ( ( L `  y )  <_  1  /\  r  <  ( M `
 ( T `  y ) ) ) )
1917, 18syl6bb 265 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  r  e.  RR )  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r )  <->  -.  (
( L `  y
)  <_  1  /\  r  <  ( M `  ( T `  y ) ) ) ) )
2019ralbidva 2824 . . . . . 6  |-  ( ( T : X --> Y  /\  r  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  X  ( ( L `
 y )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  y
) )  <_  r
)  <->  A. y  e.  X  -.  ( ( L `  y )  <_  1  /\  r  <  ( M `
 ( T `  y ) ) ) ) )
21 ralnex 2834 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  X  -.  ( ( L `  y )  <_  1  /\  r  <  ( M `
 ( T `  y ) ) )  <->  -.  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  r  <  ( M `
 ( T `  y ) ) ) )
2220, 21syl6bb 265 . . . . 5  |-  ( ( T : X --> Y  /\  r  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  X  ( ( L `
 y )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  y
) )  <_  r
)  <->  -.  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  r  < 
( M `  ( T `  y )
) ) ) )
2322rexbidva 2898 . . . 4  |-  ( T : X --> Y  -> 
( E. r  e.  RR  A. y  e.  X  ( ( L `
 y )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  y
) )  <_  r
)  <->  E. r  e.  RR  -.  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  r  <  ( M `
 ( T `  y ) ) ) ) )
24 rexnal 2836 . . . 4  |-  ( E. r  e.  RR  -.  E. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  /\  r  <  ( M `  ( T `  y ) ) )  <->  -.  A. r  e.  RR  E. y  e.  X  ( ( L `
 y )  <_ 
1  /\  r  <  ( M `  ( T `
 y ) ) ) )
2523, 24syl6bb 265 . . 3  |-  ( T : X --> Y  -> 
( E. r  e.  RR  A. y  e.  X  ( ( L `
 y )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  y
) )  <_  r
)  <->  -.  A. r  e.  RR  E. y  e.  X  ( ( L `
 y )  <_ 
1  /\  r  <  ( M `  ( T `
 y ) ) ) ) )
268, 10, 253bitr3d 287 . 2  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  =/= +oo  <->  -.  A. r  e.  RR  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  r  <  ( M `  ( T `  y ) ) ) ) )
2726necon4abid 2664 1  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  = +oo  <->  A. r  e.  RR  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  r  < 
( M `  ( T `  y )
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   class class class wbr 4402   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   1c1 9540   +oocpnf 9672    < clt 9675    <_ cle 9676   NrmCVeccnv 26203   BaseSetcba 26205   normCVcnmcv 26209   normOpOLDcnmoo 26382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-grpo 25919  df-gid 25920  df-ginv 25921  df-ablo 26010  df-vc 26165  df-nv 26211  df-va 26214  df-ba 26215  df-sm 26216  df-0v 26217  df-nmcv 26219  df-nmoo 26386
This theorem is referenced by:  nmounbseqi  26418  nmounbseqiALT  26419
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