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Theorem nmounbi 26091
Description: Two ways two express that an operator is unbounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmoubi.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmoubi.l  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmoubi.m  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmoubi.3  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
nmoubi.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmoubi.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmounbi  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  = +oo  <->  A. r  e.  RR  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  r  < 
( M `  ( T `  y )
) ) ) )
Distinct variable groups:    y, r, L    y, U    y, W    Y, r, y    M, r, y    T, r, y    X, r, y    N, r, y
Allowed substitution hints:    U( r)    W( r)

Proof of Theorem nmounbi
StepHypRef Expression
1 nmoubi.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 nmoubi.y . . . 4  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
3 nmoubi.l . . . 4  |-  L  =  ( normCV `  U )
4 nmoubi.m . . . 4  |-  M  =  ( normCV `  W )
5 nmoubi.3 . . . 4  |-  N  =  ( U normOpOLD W
)
6 nmoubi.u . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
7 nmoubi.w . . . 4  |-  W  e.  NrmCVec
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7nmobndi 26090 . . 3  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  e.  RR  <->  E. r  e.  RR  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r ) ) )
91, 2, 5nmorepnf 26083 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  ->  (
( N `  T
)  e.  RR  <->  ( N `  T )  =/= +oo ) )
106, 7, 9mp3an12 1316 . . 3  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  e.  RR  <->  ( N `  T )  =/= +oo ) )
11 ffvelrn 6006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T : X --> Y  /\  y  e.  X )  ->  ( T `  y
)  e.  Y )
122, 4nvcl 25962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( T `  y )  e.  Y )  ->  ( M `  ( T `  y ) )  e.  RR )
137, 11, 12sylancr 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T : X --> Y  /\  y  e.  X )  ->  ( M `  ( T `  y )
)  e.  RR )
14 lenlt 9693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M `  ( T `  y )
)  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( M `  ( T `  y ) )  <_  r  <->  -.  r  <  ( M `  ( T `  y )
) ) )
1513, 14sylan 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  y  e.  X
)  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r  <->  -.  r  <  ( M `  ( T `  y )
) ) )
1615an32s 805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  r  e.  RR )  /\  y  e.  X
)  ->  ( ( M `  ( T `  y ) )  <_ 
r  <->  -.  r  <  ( M `  ( T `
 y ) ) ) )
1716imbi2d 314 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  r  e.  RR )  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r )  <->  ( ( L `  y )  <_  1  ->  -.  r  <  ( M `  ( T `  y )
) ) ) )
18 imnan 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L `  y
)  <_  1  ->  -.  r  <  ( M `
 ( T `  y ) ) )  <->  -.  ( ( L `  y )  <_  1  /\  r  <  ( M `
 ( T `  y ) ) ) )
1917, 18syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T : X --> Y  /\  r  e.  RR )  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r )  <->  -.  (
( L `  y
)  <_  1  /\  r  <  ( M `  ( T `  y ) ) ) ) )
2019ralbidva 2839 . . . . . 6  |-  ( ( T : X --> Y  /\  r  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  X  ( ( L `
 y )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  y
) )  <_  r
)  <->  A. y  e.  X  -.  ( ( L `  y )  <_  1  /\  r  <  ( M `
 ( T `  y ) ) ) ) )
21 ralnex 2849 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  X  -.  ( ( L `  y )  <_  1  /\  r  <  ( M `
 ( T `  y ) ) )  <->  -.  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  r  <  ( M `
 ( T `  y ) ) ) )
2220, 21syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( ( T : X --> Y  /\  r  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  X  ( ( L `
 y )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  y
) )  <_  r
)  <->  -.  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  r  < 
( M `  ( T `  y )
) ) ) )
2322rexbidva 2914 . . . 4  |-  ( T : X --> Y  -> 
( E. r  e.  RR  A. y  e.  X  ( ( L `
 y )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  y
) )  <_  r
)  <->  E. r  e.  RR  -.  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  r  <  ( M `
 ( T `  y ) ) ) ) )
24 rexnal 2851 . . . 4  |-  ( E. r  e.  RR  -.  E. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  /\  r  <  ( M `  ( T `  y ) ) )  <->  -.  A. r  e.  RR  E. y  e.  X  ( ( L `
 y )  <_ 
1  /\  r  <  ( M `  ( T `
 y ) ) ) )
2523, 24syl6bb 261 . . 3  |-  ( T : X --> Y  -> 
( E. r  e.  RR  A. y  e.  X  ( ( L `
 y )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  y
) )  <_  r
)  <->  -.  A. r  e.  RR  E. y  e.  X  ( ( L `
 y )  <_ 
1  /\  r  <  ( M `  ( T `
 y ) ) ) ) )
268, 10, 253bitr3d 283 . 2  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  =/= +oo  <->  -.  A. r  e.  RR  E. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  /\  r  <  ( M `  ( T `  y ) ) ) ) )
2726necon4abid 2654 1  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  = +oo  <->  A. r  e.  RR  E. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  /\  r  < 
( M `  ( T `  y )
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754   class class class wbr 4394   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   RRcr 9520   1c1 9522   +oocpnf 9654    < clt 9657    <_ cle 9658   NrmCVeccnv 25877   BaseSetcba 25879   normCVcnmcv 25883   normOpOLDcnmoo 26056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-seq 12150  df-exp 12209  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-grpo 25593  df-gid 25594  df-ginv 25595  df-ablo 25684  df-vc 25839  df-nv 25885  df-va 25888  df-ba 25889  df-sm 25890  df-0v 25891  df-nmcv 25893  df-nmoo 26060
This theorem is referenced by:  nmounbseqi  26092  nmounbseqiALT  26093
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