Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppieq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppieq0 24702
 Description: The prime-counting function π is zero iff its argument is less than 2. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppieq0 (𝐴 ∈ ℝ → ((π𝐴) = 0 ↔ 𝐴 < 2))

Proof of Theorem ppieq0
StepHypRef Expression
1 2re 10967 . . . . 5 2 ∈ ℝ
2 lenlt 9995 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 2))
31, 2mpan 702 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 2))
4 ppinncl 24700 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π𝐴) ∈ ℕ)
54nnne0d 10942 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π𝐴) ≠ 0)
65ex 449 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 → (π𝐴) ≠ 0))
73, 6sylbird 249 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 < 2 → (π𝐴) ≠ 0))
87necon4bd 2802 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((π𝐴) = 0 → 𝐴 < 2))
9 reflcl 12459 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
109adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
11 1red 9934 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → 1 ∈ ℝ)
12 2z 11286 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
13 fllt 12469 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐴 < 2 ↔ (⌊‘𝐴) < 2))
1412, 13mpan2 703 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 2 ↔ (⌊‘𝐴) < 2))
1514biimpa 500 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) < 2)
16 df-2 10956 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
1715, 16syl6breq 4624 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) < (1 + 1))
18 flcl 12458 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
1918adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
20 1z 11284 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
21 zleltp1 11305 . . . . . . . 8 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝐴) < (1 + 1)))
2219, 20, 21sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → ((⌊‘𝐴) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝐴) < (1 + 1)))
2317, 22mpbird 246 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ≤ 1)
24 ppiwordi 24688 . . . . . 6 (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 1) → (π‘(⌊‘𝐴)) ≤ (π‘1))
2510, 11, 23, 24syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘(⌊‘𝐴)) ≤ (π‘1))
26 ppifl 24686 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π𝐴))
2726adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π𝐴))
28 ppi1 24690 . . . . . 6 (π‘1) = 0
2928a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘1) = 0)
3025, 27, 293brtr3d 4614 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π𝐴) ≤ 0)
31 ppicl 24657 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (π𝐴) ∈ ℕ0)
3231adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π𝐴) ∈ ℕ0)
33 nn0le0eq0 11198 . . . . 5 ((π𝐴) ∈ ℕ0 → ((π𝐴) ≤ 0 ↔ (π𝐴) = 0))
3432, 33syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → ((π𝐴) ≤ 0 ↔ (π𝐴) = 0))
3530, 34mpbid 221 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π𝐴) = 0)
3635ex 449 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 2 → (π𝐴) = 0))
378, 36impbid 201 1 (𝐴 ∈ ℝ → ((π𝐴) = 0 ↔ 𝐴 < 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ⌊cfl 12453  πcppi 24620 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-prm 15224  df-ppi 24626 This theorem is referenced by:  ppiltx  24703
 Copyright terms: Public domain W3C validator