Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prime Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prime 11334
 Description: Two ways to express "𝐴 is a prime number (or 1)." See also isprm 15225. (Contributed by NM, 4-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
prime (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ ((1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem prime
StepHypRef Expression
1 bi2.04 375 . . . 4 ((𝑥 ≠ 1 → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐴)) ↔ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 ≠ 1 → 𝑥 = 𝐴)))
2 impexp 461 . . . 4 (((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ≠ 1 → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐴)))
3 neor 2873 . . . . 5 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ≠ 1 → 𝑥 = 𝐴))
43imbi2i 325 . . . 4 (((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 ≠ 1 → 𝑥 = 𝐴)))
51, 2, 43bitr4ri 292 . . 3 (((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴))
6 nngt1ne1 10924 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ → (1 < 𝑥𝑥 ≠ 1))
76adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 < 𝑥𝑥 ≠ 1))
87anbi1d 737 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑥 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
9 nnz 11276 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ)
10 nnre 10904 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
11 gtndiv 11330 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑥) → ¬ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ)
12113expia 1259 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝑥 → ¬ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ))
1310, 12sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝑥 → ¬ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ))
1413con2d 128 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ → ¬ 𝐴 < 𝑥))
15 nnre 10904 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
16 lenlt 9995 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
1710, 15, 16syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑥𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
1814, 17sylibrd 248 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ → 𝑥𝐴))
1918ancoms 468 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ → 𝑥𝐴))
209, 19syl5 33 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → 𝑥𝐴))
2120pm4.71rd 665 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
2221anbi2d 736 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑥 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑥 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ))))
23 3anass 1035 . . . . . 6 ((1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑥 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
2422, 23syl6bbr 277 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑥 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
258, 24bitr3d 269 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
2625imbi1d 330 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴) ↔ ((1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))
275, 26syl5bb 271 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ((1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))
2827ralbidva 2968 1 (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ ((1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℤcz 11254 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255 This theorem is referenced by:  infpnlem1  15452
 Copyright terms: Public domain W3C validator