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Theorem mbfinf 19510
Description: The infimum of a sequence of measurable, real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfinf.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
mbfinf.2  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  ) )
mbfinf.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
mbfinf.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbfinf.5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
mbfinf.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  y  <_  B
)
Assertion
Ref Expression
mbfinf  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, n, y, A    ph, n, x, y    n, Z, x, y    y, B
Allowed substitution hints:    B( x, n)    G( x, y, n)    M( x, y, n)

Proof of Theorem mbfinf
Dummy variables  m  r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfinf.2 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  ) )
2 mbfinf.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
32anass1rs 783 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
4 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
53, 4fmptd 5852 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR )
6 frn 5556 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  C_  RR )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  C_  RR )
8 mbfinf.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
9 uzid 10456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
108, 9syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
11 mbfinf.1 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
1210, 11syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
1312adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  Z )
14 fdm 5554 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =  Z )
155, 14syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =  Z )
1613, 15eleqtrrd 2481 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  dom  ( n  e.  Z  |->  B ) )
17 ne0i 3594 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  ->  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
1816, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
19 dm0rn0 5045 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =  (/)  <->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =  (/) )
2019necon3bii 2599 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  <->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
2118, 20sylib 189 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
22 mbfinf.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  y  <_  B
)
23 ffn 5550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
245, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
25 breq2 4176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  -> 
( y  <_  z  <->  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m ) ) )
2625ralrn 5832 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z  -> 
( A. z  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  B ) y  <_  z  <->  A. m  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m
) ) )
2724, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) y  <_ 
z  <->  A. m  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m ) ) )
28 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
y
29 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n  <_
30 nffvmpt1 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )
3128, 29, 30nfbr 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )
32 nfv 1626 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ m  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )
33 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
3433breq2d 4184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
y  <_  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <-> 
y  <_  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
3531, 32, 34cbvral 2888 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <->  A. n  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n
) )
36 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  Z )
374fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  Z  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  B )
3836, 3, 37syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  B )
3938breq2d 4184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
y  <_  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <-> 
y  <_  B )
)
4039ralbidva 2682 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. n  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  <->  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )
4135, 40syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. m  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  <->  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )
4227, 41bitrd 245 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) y  <_ 
z  <->  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )
4342rexbidv 2687 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  B ) y  <_  z  <->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )
4422, 43mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  B ) y  <_  z )
45 infmsup 9942 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( n  e.  Z  |->  B )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  B ) y  <_  z )  ->  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  )  =  -u sup ( { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) } ,  RR ,  <  ) )
467, 21, 44, 45syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  )  =  -u sup ( { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  B ) } ,  RR ,  <  ) )
47 rabid 2844 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) }  <-> 
( r  e.  RR  /\  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ) )
483recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
4948adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  B  e.  CC )
50 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  r  e.  RR )
5150recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  r  e.  CC )
52 negcon2 9310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  CC  /\  r  e.  CC )  ->  ( B  =  -u r 
<->  r  =  -u B
) )
5349, 51, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( B  =  -u r  <->  r  =  -u B ) )
54 eqcom 2406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  =  -u B  <->  -u B  =  r )
5553, 54syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( B  =  -u r  <->  -u B  =  r ) )
5638adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  B )
5756eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  -u r  <->  B  =  -u r ) )
58 negex 9260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -u B  e.  _V
59 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  Z  |->  -u B
)  =  ( n  e.  Z  |->  -u B
)
6059fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  Z  /\  -u B  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  n )  =  -u B )
6158, 60mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  n )  =  -u B )
6261adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  n
)  =  -u B
)
6362eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  n )  =  r  <->  -u B  =  r
) )
6455, 57, 633bitr4d 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  -u r  <->  ( ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  n )  =  r ) )
6564ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  A. n  e.  Z  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  -u r  <->  ( ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  n )  =  r ) )
6630nfeq1 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ n
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r
67 nffvmpt1 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  m )
6867nfeq1 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ n
( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  m )  =  r
6966, 68nfbi 1852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ n
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  = 
-u r  <->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  m
)  =  r )
70 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ m
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  = 
-u r  <->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  n
)  =  r )
7133eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r 
<->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  -u r ) )
72 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  m )  =  ( ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  n ) )
7372eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  m )  =  r  <-> 
( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  n )  =  r ) )
7471, 73bibi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  = 
-u r  <->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  m
)  =  r )  <-> 
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  = 
-u r  <->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  n
)  =  r ) ) )
7569, 70, 74cbvral 2888 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. m  e.  Z  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r 
<->  ( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  m )  =  r )  <->  A. n  e.  Z  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  = 
-u r  <->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  n
)  =  r ) )
7665, 75sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  A. m  e.  Z  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  =  -u r  <->  ( ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  m )  =  r ) )
7776r19.21bi 2764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  m  e.  Z
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  =  -u r  <->  ( ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  m )  =  r ) )
7877rexbidva 2683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  ( E. m  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r 
<->  E. m  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  m )  =  r ) )
7924adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
80 fvelrnb 5733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z  -> 
( -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  <->  E. m  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r ) )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  ( -u r  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  B )  <->  E. m  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r ) )
823renegcld 9420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  -u B  e.  RR )
8382, 59fmptd 5852 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  -u B ) : Z --> RR )
8483adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  (
n  e.  Z  |->  -u B ) : Z --> RR )
85 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  Z  |->  -u B ) : Z --> RR  ->  ( n  e.  Z  |->  -u B )  Fn  Z )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  (
n  e.  Z  |->  -u B )  Fn  Z
)
87 fvelrnb 5733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  Z  |->  -u B )  Fn  Z  ->  ( r  e.  ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B )  <->  E. m  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  m
)  =  r ) )
8886, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  (
r  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  -u B )  <->  E. m  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  m
)  =  r ) )
8978, 81, 883bitr4d 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  ( -u r  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  B )  <->  r  e.  ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) ) )
9089pm5.32da 623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( r  e.  RR  /\  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <->  ( r  e.  RR  /\  r  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  -u B ) ) ) )
91 frn 5556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  Z  |->  -u B ) : Z --> RR  ->  ran  ( n  e.  Z  |->  -u B
)  C_  RR )
9283, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B )  C_  RR )
9392sseld 3307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
r  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  -u B )  ->  r  e.  RR ) )
9493pm4.71rd 617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
r  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  -u B )  <->  ( r  e.  RR  /\  r  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  -u B ) ) ) )
9590, 94bitr4d 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( r  e.  RR  /\  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <->  r  e.  ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) ) )
9647, 95syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
r  e.  { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) }  <->  r  e.  ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) ) )
9796alrimiv 1638 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. r
( r  e.  {
r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  B ) }  <->  r  e.  ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) ) )
98 nfrab1 2848 . . . . . . . . 9  |-  F/_ r { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) }
99 nfcv 2540 . . . . . . . . 9  |-  F/_ r ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B )
10098, 99cleqf 2564 . . . . . . . 8  |-  ( { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  B ) }  =  ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B )  <->  A. r
( r  e.  {
r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  B ) }  <->  r  e.  ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) ) )
10197, 100sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) }  =  ran  (
n  e.  Z  |->  -u B ) )
102101supeq1d 7409 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) } ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  ) )
103102negeqd 9256 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u sup ( { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) } ,  RR ,  <  )  = 
-u sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  ) )
10446, 103eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  )  =  -u sup ( ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) ,  RR ,  <  )
)
105104mpteq2dva 4255 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  ) )  =  ( x  e.  A  |-> 
-u sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  ) ) )
1061, 105syl5eq 2448 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  A  |->  -u sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  )
) )
107 ltso 9112 . . . . 5  |-  <  Or  RR
108107supex 7424 . . . 4  |-  sup ( ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) ,  RR ,  <  )  e.  _V
109108a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  )  e.  _V )
110 eqid 2404 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) ,  RR ,  <  )
)  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) ,  RR ,  <  )
)
1112anassrs 630 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
112 mbfinf.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
113111, 112mbfneg 19495 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  -u B )  e. MblFn )
1142renegcld 9420 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  -u B  e.  RR )
115 renegcl 9320 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  -u y  e.  RR )
116115ad2antrl 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
y  e.  RR  /\  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )  ->  -u y  e.  RR )
117 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  y  e.  RR )
1183adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  B  e.  RR )
119117, 118lenegd 9561 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( y  <_  B  <->  -u B  <_  -u y
) )
120119ralbidva 2682 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. n  e.  Z  y  <_  B  <->  A. n  e.  Z  -u B  <_  -u y ) )
121120biimpd 199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. n  e.  Z  y  <_  B  ->  A. n  e.  Z  -u B  <_  -u y ) )
122121impr 603 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
y  e.  RR  /\  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )  ->  A. n  e.  Z  -u B  <_  -u y )
123 breq2 4176 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  -u y  ->  ( -u B  <_  z  <->  -u B  <_  -u y ) )
124123ralbidv 2686 . . . . . . 7  |-  ( z  =  -u y  ->  ( A. n  e.  Z  -u B  <_  z  <->  A. n  e.  Z  -u B  <_  -u y ) )
125124rspcev 3012 . . . . . 6  |-  ( (
-u y  e.  RR  /\ 
A. n  e.  Z  -u B  <_  -u y )  ->  E. z  e.  RR  A. n  e.  Z  -u B  <_  z )
126116, 122, 125syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
y  e.  RR  /\  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )  ->  E. z  e.  RR  A. n  e.  Z  -u B  <_  z )
12722, 126rexlimddv 2794 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. z  e.  RR  A. n  e.  Z  -u B  <_  z
)
12811, 110, 8, 113, 114, 127mbfsup 19509 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  ) )  e. MblFn
)
129109, 128mbfneg 19495 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  ) )  e. MblFn
)
130106, 129eqeltrd 2478 1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945    < clt 9076    <_ cle 9077   -ucneg 9248   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444  MblFncmbf 19459
This theorem is referenced by:  mbflimsup  19511
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xadd 10667  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-xmet 16650  df-met 16651  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465
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