Theorem usgra2edg 25911

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a simple graph, there are more than one edges starting at this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
usgra2edg	⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ ran 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ ran 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐸∃𝑦 ∈ dom 𝐸(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)))

Distinct variable groups:   𝐸,𝑏,𝑐,𝑥,𝑦   𝑁,𝑏,𝑐,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem usgra2edg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrafun 25878	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → Fun 𝐸)
2		funfn 5833	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐸 ↔ 𝐸 Fn dom 𝐸)
3	1, 2	sylib 207	. . . . 5 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → 𝐸 Fn dom 𝐸)
4	3	3ad2ant1 1075	. . . 4 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → 𝐸 Fn dom 𝐸)
5		fvelrnb 6153	. . . . 5 ⊢ (𝐸 Fn dom 𝐸 → ({𝑁, 𝑏} ∈ ran 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑁, 𝑏}))
6		fvelrnb 6153	. . . . 5 ⊢ (𝐸 Fn dom 𝐸 → ({𝑐, 𝑁} ∈ ran 𝐸 ↔ ∃𝑦 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑦) = {𝑐, 𝑁}))
7	5, 6	anbi12d 743	. . . 4 ⊢ (𝐸 Fn dom 𝐸 → (({𝑁, 𝑏} ∈ ran 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ ran 𝐸) ↔ (∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑁, 𝑏} ∧ ∃𝑦 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑦) = {𝑐, 𝑁})))
8	4, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (({𝑁, 𝑏} ∈ ran 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ ran 𝐸) ↔ (∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑁, 𝑏} ∧ ∃𝑦 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑦) = {𝑐, 𝑁})))
9		reeanv 3086	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ dom 𝐸∃𝑦 ∈ dom 𝐸((𝐸‘𝑥) = {𝑁, 𝑏} ∧ (𝐸‘𝑦) = {𝑐, 𝑁}) ↔ (∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑁, 𝑏} ∧ ∃𝑦 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑦) = {𝑐, 𝑁}))
10		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐸‘𝑥) = (𝐸‘𝑦))
11	10	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐸‘𝑥) = {𝑁, 𝑏} ↔ (𝐸‘𝑦) = {𝑁, 𝑏}))
12	11	anbi1d 737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐸‘𝑥) = {𝑁, 𝑏} ∧ (𝐸‘𝑦) = {𝑐, 𝑁}) ↔ ((𝐸‘𝑦) = {𝑁, 𝑏} ∧ (𝐸‘𝑦) = {𝑐, 𝑁})))
13		eqtr2 2630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐸‘𝑦) = {𝑁, 𝑏} ∧ (𝐸‘𝑦) = {𝑐, 𝑁}) → {𝑁, 𝑏} = {𝑐, 𝑁})
14		prcom 4211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑐, 𝑁} = {𝑁, 𝑐}
15	14	eqeq2i 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑁, 𝑏} = {𝑐, 𝑁} ↔ {𝑁, 𝑏} = {𝑁, 𝑐})
16		vex 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑏 ∈ V
17		vex 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑐 ∈ V
18	16, 17	preqr2 4321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ({𝑁, 𝑏} = {𝑁, 𝑐} → 𝑏 = 𝑐)
19		eqneqall 2793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 ≠ 𝑐 → 𝑥 ≠ 𝑦))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑁, 𝑏} = {𝑁, 𝑐} → (𝑏 ≠ 𝑐 → 𝑥 ≠ 𝑦))
21	15, 20	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑁, 𝑏} = {𝑐, 𝑁} → (𝑏 ≠ 𝑐 → 𝑥 ≠ 𝑦))
22	13, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐸‘𝑦) = {𝑁, 𝑏} ∧ (𝐸‘𝑦) = {𝑐, 𝑁}) → (𝑏 ≠ 𝑐 → 𝑥 ≠ 𝑦))
23	12, 22	syl6bi 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐸‘𝑥) = {𝑁, 𝑏} ∧ (𝐸‘𝑦) = {𝑐, 𝑁}) → (𝑏 ≠ 𝑐 → 𝑥 ≠ 𝑦)))
24	23	com23 84	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑏 ≠ 𝑐 → (((𝐸‘𝑥) = {𝑁, 𝑏} ∧ (𝐸‘𝑦) = {𝑐, 𝑁}) → 𝑥 ≠ 𝑦)))
25	24	impd 446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑏 ≠ 𝑐 ∧ ((𝐸‘𝑥) = {𝑁, 𝑏} ∧ (𝐸‘𝑦) = {𝑐, 𝑁})) → 𝑥 ≠ 𝑦))
26		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → ((𝑏 ≠ 𝑐 ∧ ((𝐸‘𝑥) = {𝑁, 𝑏} ∧ (𝐸‘𝑦) = {𝑐, 𝑁})) → 𝑥 ≠ 𝑦))
27	25, 26	pm2.61ine 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ≠ 𝑐 ∧ ((𝐸‘𝑥) = {𝑁, 𝑏} ∧ (𝐸‘𝑦) = {𝑐, 𝑁})) → 𝑥 ≠ 𝑦)
28	27	3ad2antl3 1218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ ((𝐸‘𝑥) = {𝑁, 𝑏} ∧ (𝐸‘𝑦) = {𝑐, 𝑁})) → 𝑥 ≠ 𝑦)
29		prid1g 4239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝑁 ∈ {𝑁, 𝑏})
30	29	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → 𝑁 ∈ {𝑁, 𝑏})
31		eleq2 2677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸‘𝑥) = {𝑁, 𝑏} → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ↔ 𝑁 ∈ {𝑁, 𝑏}))
32	30, 31	syl5ibr 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸‘𝑥) = {𝑁, 𝑏} → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐸‘𝑥) = {𝑁, 𝑏} ∧ (𝐸‘𝑦) = {𝑐, 𝑁}) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥)))
34	33	impcom 445	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ ((𝐸‘𝑥) = {𝑁, 𝑏} ∧ (𝐸‘𝑦) = {𝑐, 𝑁})) → 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥))
35		prid2g 4240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝑁 ∈ {𝑐, 𝑁})
36	35	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → 𝑁 ∈ {𝑐, 𝑁})
37		eleq2 2677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸‘𝑦) = {𝑐, 𝑁} → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦) ↔ 𝑁 ∈ {𝑐, 𝑁}))
38	36, 37	syl5ibr 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸‘𝑦) = {𝑐, 𝑁} → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)))
39	38	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐸‘𝑥) = {𝑁, 𝑏} ∧ (𝐸‘𝑦) = {𝑐, 𝑁}) → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)))
40	39	impcom 445	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ ((𝐸‘𝑥) = {𝑁, 𝑏} ∧ (𝐸‘𝑦) = {𝑐, 𝑁})) → 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦))
41	28, 34, 40	3jca 1235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ ((𝐸‘𝑥) = {𝑁, 𝑏} ∧ (𝐸‘𝑦) = {𝑐, 𝑁})) → (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)))
42	41	ex 449	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (((𝐸‘𝑥) = {𝑁, 𝑏} ∧ (𝐸‘𝑦) = {𝑐, 𝑁}) → (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦))))
43	42	reximdv 2999	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (∃𝑦 ∈ dom 𝐸((𝐸‘𝑥) = {𝑁, 𝑏} ∧ (𝐸‘𝑦) = {𝑐, 𝑁}) → ∃𝑦 ∈ dom 𝐸(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦))))
44	43	reximdv 2999	. . . 4 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (∃𝑥 ∈ dom 𝐸∃𝑦 ∈ dom 𝐸((𝐸‘𝑥) = {𝑁, 𝑏} ∧ (𝐸‘𝑦) = {𝑐, 𝑁}) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐸∃𝑦 ∈ dom 𝐸(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦))))
45	9, 44	syl5bir 232	. . 3 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ((∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑁, 𝑏} ∧ ∃𝑦 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑦) = {𝑐, 𝑁}) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐸∃𝑦 ∈ dom 𝐸(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦))))
46	8, 45	sylbid 229	. 2 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (({𝑁, 𝑏} ∈ ran 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ ran 𝐸) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐸∃𝑦 ∈ dom 𝐸(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦))))
47	46	imp 444	1 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ ran 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ ran 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐸∃𝑦 ∈ dom 𝐸(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  {cpr 4127   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ran crn 5039  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804   USGrph cusg 25859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-usgra 25862

This theorem is referenced by:  usgra2edg1  25912