Theorem usgra2edg1 25912

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a simple graph, there is not only one edge starting at this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
usgra2edg1	⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ ran 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ ran 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ dom 𝐸 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝐸,𝑏,𝑐,𝑥   𝑁,𝑏,𝑐,𝑥   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem usgra2edg1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgra2edg 25911	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ ran 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ ran 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐸∃𝑦 ∈ dom 𝐸(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)))
2		3simpc 1053	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)) → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)))
3		df-ne 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
4	3	biimpi 205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → ¬ 𝑥 = 𝑦)
5	4	3ad2ant1 1075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
6	2, 5	jca 553	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)) → ((𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
7	6	reximi 2994	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ dom 𝐸(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)) → ∃𝑦 ∈ dom 𝐸((𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
8	7	reximi 2994	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ dom 𝐸∃𝑦 ∈ dom 𝐸(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐸∃𝑦 ∈ dom 𝐸((𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ ran 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ ran 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐸∃𝑦 ∈ dom 𝐸((𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
10		rexanali 2981	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ dom 𝐸((𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ dom 𝐸((𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
11	10	rexbii 3023	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ dom 𝐸∃𝑦 ∈ dom 𝐸((𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐸 ¬ ∀𝑦 ∈ dom 𝐸((𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
12		rexnal 2978	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ dom 𝐸 ¬ ∀𝑦 ∈ dom 𝐸((𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ dom 𝐸∀𝑦 ∈ dom 𝐸((𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
13	11, 12	bitri 263	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ dom 𝐸∃𝑦 ∈ dom 𝐸((𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ dom 𝐸∀𝑦 ∈ dom 𝐸((𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
14	9, 13	sylib 207	. . 3 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ ran 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ ran 𝐸)) → ¬ ∀𝑥 ∈ dom 𝐸∀𝑦 ∈ dom 𝐸((𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
15	14	intnand 953	. 2 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ ran 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ ran 𝐸)) → ¬ (∃𝑥 ∈ dom 𝐸 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐸∀𝑦 ∈ dom 𝐸((𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)))
16		fveq2 6103	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐸‘𝑥) = (𝐸‘𝑦))
17	16	eleq2d 2673	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)))
18	17	reu4 3367	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ dom 𝐸 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ↔ (∃𝑥 ∈ dom 𝐸 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐸∀𝑦 ∈ dom 𝐸((𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥) ∧ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)))
19	15, 18	sylnibr 318	1 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ ran 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ ran 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ dom 𝐸 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  ∃!wreu 2898  {cpr 4127   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ran crn 5039  ‘cfv 5804   USGrph cusg 25859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-usgra 25862

This theorem is referenced by:  vdn1frgrav2  26552  vdgn1frgrav2  26553