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Theorem usgra2edg1 23447
Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a simple graph, there is not only one edge starting at this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgra2edg1  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V  /\  b  =/=  c )  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) )
Distinct variable groups:    E, b,
c, x    N, b,
c, x    x, V
Allowed substitution hints:    V( b, c)

Proof of Theorem usgra2edg1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgra2edg 23446 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V  /\  b  =/=  c )  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  ->  E. x  e.  dom  E E. y  e.  dom  E ( x  =/=  y  /\  N  e.  ( E `  x
)  /\  N  e.  ( E `  y ) ) )
2 3simpc 987 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =/=  y  /\  N  e.  ( E `  x )  /\  N  e.  ( E `  y
) )  ->  ( N  e.  ( E `  x )  /\  N  e.  ( E `  y
) ) )
3 df-ne 2646 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
43biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =/=  y  ->  -.  x  =  y )
543ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =/=  y  /\  N  e.  ( E `  x )  /\  N  e.  ( E `  y
) )  ->  -.  x  =  y )
62, 5jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =/=  y  /\  N  e.  ( E `  x )  /\  N  e.  ( E `  y
) )  ->  (
( N  e.  ( E `  x )  /\  N  e.  ( E `  y ) )  /\  -.  x  =  y ) )
76reximi 2922 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  dom  E
( x  =/=  y  /\  N  e.  ( E `  x )  /\  N  e.  ( E `  y )
)  ->  E. y  e.  dom  E ( ( N  e.  ( E `
 x )  /\  N  e.  ( E `  y ) )  /\  -.  x  =  y
) )
87reximi 2922 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  dom  E E. y  e.  dom  E ( x  =/=  y  /\  N  e.  ( E `  x )  /\  N  e.  ( E `  y )
)  ->  E. x  e.  dom  E E. y  e.  dom  E ( ( N  e.  ( E `
 x )  /\  N  e.  ( E `  y ) )  /\  -.  x  =  y
) )
91, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V  /\  b  =/=  c )  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  ->  E. x  e.  dom  E E. y  e.  dom  E ( ( N  e.  ( E `
 x )  /\  N  e.  ( E `  y ) )  /\  -.  x  =  y
) )
10 rexanali 2875 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  dom  E
( ( N  e.  ( E `  x
)  /\  N  e.  ( E `  y ) )  /\  -.  x  =  y )  <->  -.  A. y  e.  dom  E ( ( N  e.  ( E `
 x )  /\  N  e.  ( E `  y ) )  ->  x  =  y )
)
1110rexbii 2859 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  dom  E E. y  e.  dom  E ( ( N  e.  ( E `  x
)  /\  N  e.  ( E `  y ) )  /\  -.  x  =  y )  <->  E. x  e.  dom  E  -.  A. y  e.  dom  E ( ( N  e.  ( E `  x )  /\  N  e.  ( E `  y ) )  ->  x  =  y ) )
12 rexnal 2847 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  dom  E  -.  A. y  e.  dom  E ( ( N  e.  ( E `  x
)  /\  N  e.  ( E `  y ) )  ->  x  =  y )  <->  -.  A. x  e.  dom  E A. y  e.  dom  E ( ( N  e.  ( E `
 x )  /\  N  e.  ( E `  y ) )  ->  x  =  y )
)
1311, 12bitri 249 . . . 4  |-  ( E. x  e.  dom  E E. y  e.  dom  E ( ( N  e.  ( E `  x
)  /\  N  e.  ( E `  y ) )  /\  -.  x  =  y )  <->  -.  A. x  e.  dom  E A. y  e.  dom  E ( ( N  e.  ( E `
 x )  /\  N  e.  ( E `  y ) )  ->  x  =  y )
)
149, 13sylib 196 . . 3  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V  /\  b  =/=  c )  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  ->  -.  A. x  e.  dom  E A. y  e.  dom  E ( ( N  e.  ( E `
 x )  /\  N  e.  ( E `  y ) )  ->  x  =  y )
)
1514intnand 907 . 2  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V  /\  b  =/=  c )  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  ->  -.  ( E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x )  /\  A. x  e.  dom  E A. y  e.  dom  E ( ( N  e.  ( E `  x
)  /\  N  e.  ( E `  y ) )  ->  x  =  y ) ) )
16 fveq2 5792 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( E `  x )  =  ( E `  y ) )
1716eleq2d 2521 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( N  e.  ( E `  x )  <->  N  e.  ( E `  y ) ) )
1817reu4 3253 . 2  |-  ( E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x )  <->  ( E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
)  /\  A. x  e.  dom  E A. y  e.  dom  E ( ( N  e.  ( E `
 x )  /\  N  e.  ( E `  y ) )  ->  x  =  y )
) )
1915, 18sylnibr 305 1  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V  /\  b  =/=  c )  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   E!wreu 2797   {cpr 3980   class class class wbr 4393   dom cdm 4941   ran crn 4942   ` cfv 5519   USGrph cusg 23409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-hash 12214  df-usgra 23411
This theorem is referenced by:  vdn1frgrav2  30759  vdgn1frgrav2  30760
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