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Theorem usgra2edg1 24510
Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a simple graph, there is not only one edge starting at this vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgra2edg1  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V  /\  b  =/=  c )  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) )
Distinct variable groups:    E, b,
c, x    N, b,
c, x    x, V
Allowed substitution hints:    V( b, c)

Proof of Theorem usgra2edg1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgra2edg 24509 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V  /\  b  =/=  c )  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  ->  E. x  e.  dom  E E. y  e.  dom  E ( x  =/=  y  /\  N  e.  ( E `  x
)  /\  N  e.  ( E `  y ) ) )
2 3simpc 995 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =/=  y  /\  N  e.  ( E `  x )  /\  N  e.  ( E `  y
) )  ->  ( N  e.  ( E `  x )  /\  N  e.  ( E `  y
) ) )
3 df-ne 2654 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
43biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =/=  y  ->  -.  x  =  y )
543ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =/=  y  /\  N  e.  ( E `  x )  /\  N  e.  ( E `  y
) )  ->  -.  x  =  y )
62, 5jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =/=  y  /\  N  e.  ( E `  x )  /\  N  e.  ( E `  y
) )  ->  (
( N  e.  ( E `  x )  /\  N  e.  ( E `  y ) )  /\  -.  x  =  y ) )
76reximi 2925 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  dom  E
( x  =/=  y  /\  N  e.  ( E `  x )  /\  N  e.  ( E `  y )
)  ->  E. y  e.  dom  E ( ( N  e.  ( E `
 x )  /\  N  e.  ( E `  y ) )  /\  -.  x  =  y
) )
87reximi 2925 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  dom  E E. y  e.  dom  E ( x  =/=  y  /\  N  e.  ( E `  x )  /\  N  e.  ( E `  y )
)  ->  E. x  e.  dom  E E. y  e.  dom  E ( ( N  e.  ( E `
 x )  /\  N  e.  ( E `  y ) )  /\  -.  x  =  y
) )
91, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V  /\  b  =/=  c )  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  ->  E. x  e.  dom  E E. y  e.  dom  E ( ( N  e.  ( E `
 x )  /\  N  e.  ( E `  y ) )  /\  -.  x  =  y
) )
10 rexanali 2910 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  dom  E
( ( N  e.  ( E `  x
)  /\  N  e.  ( E `  y ) )  /\  -.  x  =  y )  <->  -.  A. y  e.  dom  E ( ( N  e.  ( E `
 x )  /\  N  e.  ( E `  y ) )  ->  x  =  y )
)
1110rexbii 2959 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  dom  E E. y  e.  dom  E ( ( N  e.  ( E `  x
)  /\  N  e.  ( E `  y ) )  /\  -.  x  =  y )  <->  E. x  e.  dom  E  -.  A. y  e.  dom  E ( ( N  e.  ( E `  x )  /\  N  e.  ( E `  y ) )  ->  x  =  y ) )
12 rexnal 2905 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  dom  E  -.  A. y  e.  dom  E ( ( N  e.  ( E `  x
)  /\  N  e.  ( E `  y ) )  ->  x  =  y )  <->  -.  A. x  e.  dom  E A. y  e.  dom  E ( ( N  e.  ( E `
 x )  /\  N  e.  ( E `  y ) )  ->  x  =  y )
)
1311, 12bitri 249 . . . 4  |-  ( E. x  e.  dom  E E. y  e.  dom  E ( ( N  e.  ( E `  x
)  /\  N  e.  ( E `  y ) )  /\  -.  x  =  y )  <->  -.  A. x  e.  dom  E A. y  e.  dom  E ( ( N  e.  ( E `
 x )  /\  N  e.  ( E `  y ) )  ->  x  =  y )
)
149, 13sylib 196 . . 3  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V  /\  b  =/=  c )  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  ->  -.  A. x  e.  dom  E A. y  e.  dom  E ( ( N  e.  ( E `
 x )  /\  N  e.  ( E `  y ) )  ->  x  =  y )
)
1514intnand 916 . 2  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V  /\  b  =/=  c )  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  ->  -.  ( E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `
 x )  /\  A. x  e.  dom  E A. y  e.  dom  E ( ( N  e.  ( E `  x
)  /\  N  e.  ( E `  y ) )  ->  x  =  y ) ) )
16 fveq2 5872 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( E `  x )  =  ( E `  y ) )
1716eleq2d 2527 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( N  e.  ( E `  x )  <->  N  e.  ( E `  y ) ) )
1817reu4 3293 . 2  |-  ( E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x )  <->  ( E. x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
)  /\  A. x  e.  dom  E A. y  e.  dom  E ( ( N  e.  ( E `
 x )  /\  N  e.  ( E `  y ) )  ->  x  =  y )
) )
1915, 18sylnibr 305 1  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V  /\  b  =/=  c )  /\  ( { N ,  b }  e.  ran  E  /\  { c ,  N }  e.  ran  E ) )  ->  -.  E! x  e.  dom  E  N  e.  ( E `  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   E!wreu 2809   {cpr 4034   class class class wbr 4456   dom cdm 5008   ran crn 5009   ` cfv 5594   USGrph cusg 24457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-hash 12409  df-usgra 24460
This theorem is referenced by:  vdn1frgrav2  25152  vdgn1frgrav2  25153
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