MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioomnf Structured version   Unicode version

Theorem elioomnf 11389
Description: Membership in an unbounded interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elioomnf  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( B  e.  ( -oo (,) A )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
A ) ) )

Proof of Theorem elioomnf
StepHypRef Expression
1 mnfxr 11099 . . 3  |- -oo  e.  RR*
2 elioo2 11346 . . 3  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  e.  ( -oo (,) A )  <->  ( B  e.  RR  /\ -oo  <  B  /\  B  <  A
) ) )
31, 2mpan 670 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( B  e.  ( -oo (,) A )  <->  ( B  e.  RR  /\ -oo  <  B  /\  B  <  A
) ) )
4 an32 796 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\ -oo  <  B )  /\  B  <  A )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  B  <  A )  /\ -oo  <  B ) )
5 df-3an 967 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\ -oo 
<  B  /\  B  < 
A )  <->  ( ( B  e.  RR  /\ -oo  <  B )  /\  B  <  A ) )
6 mnflt 11109 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  -> -oo  <  B )
76adantr 465 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B  <  A )  -> -oo  <  B )
87pm4.71i 632 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B  <  A )  <->  ( ( B  e.  RR  /\  B  <  A )  /\ -oo  <  B ) )
94, 5, 83bitr4i 277 . 2  |-  ( ( B  e.  RR  /\ -oo 
<  B  /\  B  < 
A )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
A ) )
103, 9syl6bb 261 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( B  e.  ( -oo (,) A )  <->  ( B  e.  RR  /\  B  < 
A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756   class class class wbr 4297  (class class class)co 6096   RRcr 9286   -oocmnf 9421   RR*cxr 9422    < clt 9423   (,)cioo 11305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-ioo 11309
This theorem is referenced by:  bndth  20535  mbfmulc2lem  21130  mbfposr  21135  ismbf3d  21137  mbfi1fseqlem4  21201  itg2monolem1  21233  dvne0  21488  mbfposadd  28444  itg2addnclem2  28449  iblabsnclem  28460  ftc1anclem1  28472  ftc1anclem6  28477  rfcnpre2  29758
  Copyright terms: Public domain W3C validator