Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinq12gt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinq12gt0 24063
 Description: The sine of a number strictly between 0 and π is positive. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)
Assertion
Ref Expression
sinq12gt0 (𝐴 ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘𝐴))

Proof of Theorem sinq12gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 9965 . . 3 0 ∈ ℝ*
2 pire 24014 . . . 4 π ∈ ℝ
32rexri 9976 . . 3 π ∈ ℝ*
4 elioo2 12087 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π)))
51, 3, 4mp2an 704 . 2 (𝐴 ∈ (0(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π))
6 rehalfcl 11135 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
763ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
8 halfpos2 11138 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 / 2)))
98biimpa 500 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 / 2))
1093adant3 1074 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → 0 < (𝐴 / 2))
11 2re 10967 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
12 2pos 10989 . . . . . . . . 9 0 < 2
1311, 12pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
14 ltdiv1 10766 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
152, 13, 14mp3an23 1408 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
1615adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
1716biimp3a 1424 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → (𝐴 / 2) < (π / 2))
18 sincosq1lem 24053 . . . . 5 (((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2)) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
197, 10, 17, 18syl3anc 1318 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
20 resubcl 10224 . . . . . . . . 9 ((π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (π − 𝐴) ∈ ℝ)
212, 20mpan 702 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (π − 𝐴) ∈ ℝ)
22 rehalfcl 11135 . . . . . . . 8 ((π − 𝐴) ∈ ℝ → ((π − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((π − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
24233ad2ant1 1075 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → ((π − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
25 posdif 10400 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐴 < π ↔ 0 < (π − 𝐴)))
262, 25mpan2 703 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π ↔ 0 < (π − 𝐴)))
27 halfpos2 11138 . . . . . . . . . 10 ((π − 𝐴) ∈ ℝ → (0 < (π − 𝐴) ↔ 0 < ((π − 𝐴) / 2)))
2821, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (π − 𝐴) ↔ 0 < ((π − 𝐴) / 2)))
2926, 28bitrd 267 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π ↔ 0 < ((π − 𝐴) / 2)))
3029adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 < π ↔ 0 < ((π − 𝐴) / 2)))
3130biimp3a 1424 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → 0 < ((π − 𝐴) / 2))
32 ltsubpos 10399 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ (π − 𝐴) < π))
332, 32mpan2 703 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (π − 𝐴) < π))
34 ltdiv1 10766 . . . . . . . . . . 11 (((π − 𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π − 𝐴) < π ↔ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)))
352, 13, 34mp3an23 1408 . . . . . . . . . 10 ((π − 𝐴) ∈ ℝ → ((π − 𝐴) < π ↔ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)))
3621, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((π − 𝐴) < π ↔ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)))
3733, 36bitrd 267 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)))
3837biimpa 500 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2))
39383adant3 1074 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2))
40 sincosq1lem 24053 . . . . . 6 ((((π − 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π − 𝐴) / 2) ∧ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)) → 0 < (sin‘((π − 𝐴) / 2)))
4124, 31, 39, 40syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → 0 < (sin‘((π − 𝐴) / 2)))
42 recn 9905 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
43 picn 24015 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℂ
44 2cnne0 11119 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
45 divsubdir 10600 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((π − 𝐴) / 2) = ((π / 2) − (𝐴 / 2)))
4643, 44, 45mp3an13 1407 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((π − 𝐴) / 2) = ((π / 2) − (𝐴 / 2)))
4742, 46syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((π − 𝐴) / 2) = ((π / 2) − (𝐴 / 2)))
4847fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π − 𝐴) / 2)) = (sin‘((π / 2) − (𝐴 / 2))))
496recnd 9947 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
50 sinhalfpim 24049 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − (𝐴 / 2))) = (cos‘(𝐴 / 2)))
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) − (𝐴 / 2))) = (cos‘(𝐴 / 2)))
5248, 51eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π − 𝐴) / 2)) = (cos‘(𝐴 / 2)))
53523ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → (sin‘((π − 𝐴) / 2)) = (cos‘(𝐴 / 2)))
5441, 53breqtrd 4609 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
55 resincl 14709 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
56 recoscl 14710 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
5755, 56jca 553 . . . . . . 7 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ))
58 axmulgt0 9991 . . . . . . 7 (((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
596, 57, 583syl 18 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
60 remulcl 9900 . . . . . . . . 9 (((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
616, 57, 603syl 18 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
62 axmulgt0 9991 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ) → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
6311, 61, 62sylancr 694 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
6412, 63mpani 708 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
6559, 64syld 46 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
66653ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
6719, 54, 66mp2and 711 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
68 2cn 10968 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
69 2ne0 10990 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
70 divcan2 10572 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
7168, 69, 70mp3an23 1408 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
7242, 71syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
7372fveq2d 6107 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (sin‘𝐴))
74 sin2t 14746 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
7549, 74syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
7673, 75eqtr3d 2646 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
77763ad2ant1 1075 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → (sin‘𝐴) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
7867, 77breqtrrd 4611 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → 0 < (sin‘𝐴))
795, 78sylbi 206 1 (𝐴 ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   · cmul 9820  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  (,)cioo 12046  sincsin 14633  cosccos 14634  πcpi 14636 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  sinq12ge0  24064  sinq34lt0t  24065  cosq14gt0  24066  sineq0  24077  cosordlem  24081  tan2h  32571  sineq0ALT  38195  wallispilem1  38958
 Copyright terms: Public domain W3C validator