MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinq12gt0 Structured version   Unicode version

Theorem sinq12gt0 21974
Description: The sine of a number strictly between  0 and  pi is positive. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)
Assertion
Ref Expression
sinq12gt0  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( sin `  A
) )

Proof of Theorem sinq12gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 9435 . . 3  |-  0  e.  RR*
2 pire 21926 . . . 4  |-  pi  e.  RR
32rexri 9441 . . 3  |-  pi  e.  RR*
4 elioo2 11346 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <  pi ) ) )
51, 3, 4mp2an 672 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <  pi ) )
6 rehalfcl 10556 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
763ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <  pi )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
8 halfpos2 10559 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  <->  0  <  ( A  /  2 ) ) )
98biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
0  <  ( A  /  2 ) )
1093adant3 1008 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <  pi )  ->  0  <  ( A  /  2
) )
11 2re 10396 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
12 2pos 10418 . . . . . . . . 9  |-  0  <  2
1311, 12pm3.2i 455 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
14 ltdiv1 10198 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( A  < 
pi 
<->  ( A  /  2
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
152, 13, 14mp3an23 1306 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  pi  <->  ( A  /  2 )  < 
( pi  /  2
) ) )
1615adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( A  <  pi  <->  ( A  /  2 )  <  ( pi  / 
2 ) ) )
1716biimp3a 1318 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <  pi )  ->  ( A  /  2 )  < 
( pi  /  2
) )
18 sincosq1lem 21964 . . . . 5  |-  ( ( ( A  /  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( A  / 
2 )  /\  ( A  /  2 )  < 
( pi  /  2
) )  ->  0  <  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )
197, 10, 17, 18syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <  pi )  ->  0  <  ( sin `  ( A  /  2 ) ) )
20 resubcl 9678 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( pi  -  A
)  e.  RR )
212, 20mpan 670 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
pi  -  A )  e.  RR )
22 rehalfcl 10556 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  -  A )  e.  RR  ->  (
( pi  -  A
)  /  2 )  e.  RR )
2321, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( pi  -  A
)  /  2 )  e.  RR )
24233ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <  pi )  ->  (
( pi  -  A
)  /  2 )  e.  RR )
25 posdif 9837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( A  <  pi  <->  0  <  ( pi  -  A ) ) )
262, 25mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  pi  <->  0  <  ( pi  -  A ) ) )
27 halfpos2 10559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  -  A )  e.  RR  ->  (
0  <  ( pi  -  A )  <->  0  <  ( ( pi  -  A
)  /  2 ) ) )
2821, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  ( pi  -  A )  <->  0  <  ( ( pi  -  A
)  /  2 ) ) )
2926, 28bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  pi  <->  0  <  ( ( pi  -  A
)  /  2 ) ) )
3029adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( A  <  pi  <->  0  <  ( ( pi 
-  A )  / 
2 ) ) )
3130biimp3a 1318 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <  pi )  ->  0  <  ( ( pi  -  A )  /  2
) )
32 ltsubpos 9836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( 0  <  A  <->  ( pi  -  A )  <  pi ) )
332, 32mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  <->  ( pi  -  A )  <  pi ) )
34 ltdiv1 10198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( pi  -  A
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( pi 
-  A )  < 
pi 
<->  ( ( pi  -  A )  /  2
)  <  ( pi  /  2 ) ) )
352, 13, 34mp3an23 1306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  -  A )  e.  RR  ->  (
( pi  -  A
)  <  pi  <->  ( (
pi  -  A )  /  2 )  < 
( pi  /  2
) ) )
3621, 35syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( pi  -  A
)  <  pi  <->  ( (
pi  -  A )  /  2 )  < 
( pi  /  2
) ) )
3733, 36bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  <->  ( (
pi  -  A )  /  2 )  < 
( pi  /  2
) ) )
3837biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( ( pi  -  A )  /  2
)  <  ( pi  /  2 ) )
39383adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <  pi )  ->  (
( pi  -  A
)  /  2 )  <  ( pi  / 
2 ) )
40 sincosq1lem 21964 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( pi  -  A )  /  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( pi 
-  A )  / 
2 )  /\  (
( pi  -  A
)  /  2 )  <  ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <  ( sin `  ( ( pi  -  A )  /  2
) ) )
4124, 31, 39, 40syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <  pi )  ->  0  <  ( sin `  (
( pi  -  A
)  /  2 ) ) )
42 recn 9377 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
43 picn 21927 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  CC
44 2cnne0 10541 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
45 divsubdir 10032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( ( pi 
-  A )  / 
2 )  =  ( ( pi  /  2
)  -  ( A  /  2 ) ) )
4643, 44, 45mp3an13 1305 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( pi  -  A
)  /  2 )  =  ( ( pi 
/  2 )  -  ( A  /  2
) ) )
4742, 46syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( pi  -  A
)  /  2 )  =  ( ( pi 
/  2 )  -  ( A  /  2
) ) )
4847fveq2d 5700 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( pi 
-  A )  / 
2 ) )  =  ( sin `  (
( pi  /  2
)  -  ( A  /  2 ) ) ) )
496recnd 9417 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
50 sinhalfpim 21960 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  -  ( A  /  2
) ) )  =  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )
5149, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  -  ( A  /  2
) ) )  =  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )
5248, 51eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  ( ( pi 
-  A )  / 
2 ) )  =  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )
53523ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <  pi )  ->  ( sin `  ( ( pi 
-  A )  / 
2 ) )  =  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )
5441, 53breqtrd 4321 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <  pi )  ->  0  <  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )
55 resincl 13429 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  RR  ->  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  e.  RR )
56 recoscl 13430 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  2 )  e.  RR  ->  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  e.  RR )
5755, 56jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( A  /  2 )  e.  RR  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  e.  RR ) )
58 axmulgt0 9454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sin `  ( A  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  e.  RR )  ->  (
( 0  <  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  /\  0  <  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  ->  0  <  ( ( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
596, 57, 583syl 20 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  /\  0  <  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  ->  0  <  ( ( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
60 remulcl 9372 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sin `  ( A  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( cos `  ( A  / 
2 ) )  e.  RR )  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  e.  RR )
616, 57, 603syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  e.  RR )
62 axmulgt0 9454 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( 0  <  2  /\  0  <  ( ( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) )  ->  0  <  ( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) ) )
6311, 61, 62sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  2  /\  0  <  ( ( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) )  ->  0  <  ( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) ) )
6412, 63mpani 676 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  ( ( sin `  ( A  / 
2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  ->  0  <  ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) ) )
6559, 64syld 44 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  /\  0  <  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  ->  0  <  ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) ) )
66653ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <  pi )  ->  (
( 0  <  ( sin `  ( A  / 
2 ) )  /\  0  <  ( cos `  ( A  /  2 ) ) )  ->  0  <  ( 2  x.  ( ( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) ) )
6719, 54, 66mp2and 679 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <  pi )  ->  0  <  ( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
68 2cn 10397 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
69 2ne0 10419 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
70 divcan2 10007 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
7168, 69, 70mp3an23 1306 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
7242, 71syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
7372fveq2d 5700 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( sin `  A
) )
74 sin2t 13466 . . . . . 6  |-  ( ( A  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
7549, 74syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
7673, 75eqtr3d 2477 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  =  ( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
77763ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <  pi )  ->  ( sin `  A )  =  ( 2  x.  (
( sin `  ( A  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
7867, 77breqtrrd 4323 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  A  <  pi )  ->  0  <  ( sin `  A
) )
795, 78sylbi 195 1  |-  ( A  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( sin `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287    x. cmul 9292   RR*cxr 9422    < clt 9423    - cmin 9600    / cdiv 9998   2c2 10376   (,)cioo 11305   sincsin 13354   cosccos 13355   picpi 13357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358  df-sin 13360  df-cos 13361  df-pi 13363  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347
This theorem is referenced by:  sinq12ge0  21975  sinq34lt0t  21976  cosq14gt0  21977  sineq0  21988  cosordlem  21992  tan2h  28429  wallispilem1  29865  sineq0ALT  31678
  Copyright terms: Public domain W3C validator