Theorem elioo2 11570

Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elioo2	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A (,) B ) <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) ) )

Proof of Theorem elioo2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval2 11562	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A (,) B ) = { x e. RR | ( A < x /\ x < B ) } )
2	1	eleq2d 2537	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A (,) B ) <-> C e. { x e. RR | ( A < x /\ x < B ) } ) )
3		breq2 4451	. . . . 5 |- ( x = C -> ( A < x <-> A < C ) )
4		breq1 4450	. . . . 5 |- ( x = C -> ( x < B <-> C < B ) )
5	3, 4	anbi12d 710	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( A < x /\ x < B ) <-> ( A < C /\ C < B ) ) )
6	5	elrab 3261	. . 3 |- ( C e. { x e. RR | ( A < x /\ x < B ) } <-> ( C e. RR /\ ( A < C /\ C < B ) ) )
7		3anass 977	. . 3 |- ( ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) <-> ( C e. RR /\ ( A < C /\ C < B ) ) )
8	6, 7	bitr4i 252	. 2 |- ( C e. { x e. RR | ( A < x /\ x < B ) } <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) )
9	2, 8	syl6bb 261	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A (,) B ) <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   {crab 2818   class class class wbr 4447  (class class class)co 6284   RRcr 9491   RR*cxr 9627   < clt 9628   (,)cioo 11529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-ioo 11533

This theorem is referenced by:  eliooord  11584  elioopnf  11618  elioomnf  11619  difreicc  11652  xov1plusxeqvd  11666  tanhbnd  13757  bl2ioo  21060  xrtgioo  21074  zcld  21081  iccntr  21089  icccmplem2  21091  reconnlem1  21094  reconnlem2  21095  icoopnst  21202  iocopnst  21203  ivthlem3  21628  ovolicc2lem1  21691  ovolicc2lem5  21695  ioombl1lem4  21734  mbfmax  21819  itg2monolem1  21920  itg2monolem3  21922  dvferm1lem  22148  dvferm2lem  22150  dvlip2  22159  dvivthlem1  22172  lhop1lem  22177  lhop  22180  dvcnvrelem1  22181  dvcnvre  22183  itgsubst  22213  sincosq1sgn  22652  sincosq2sgn  22653  sincosq3sgn  22654  sincosq4sgn  22655  coseq00topi  22656  tanabsge  22660  sinq12gt0  22661  sinq12ge0  22662  cosq14gt0  22664  sincos6thpi  22669  sineq0  22675  cosordlem  22679  tanord1  22685  tanord  22686  argregt0  22751  argimgt0  22753  argimlt0  22754  dvloglem  22785  logf1o2  22787  efopnlem2  22794  asinsinlem  22978  acoscos  22980  atanlogsublem  23002  atantan  23010  atanbndlem  23012  atanbnd  23013  atan1  23015  scvxcvx  23071  basellem1  23110  pntibndlem1  23530  pntibnd  23534  pntlemc  23536  padicabvf  23572  padicabvcxp  23573  cnre2csqlem  27556  dvtanlem  29669  itg2gt0cn  29675  iblabsnclem  29683  dvasin  29708  areacirclem1  29712  areacirc  29717  ivthALT  29758  ioogtlb  31120  eliood  31123  eliooshift  31133  iooltub  31140  iooshift  31154  limciccioolb  31191  limcicciooub  31207  lptre2pt  31210  cncfiooiccre  31262  cncfioobdlem  31263  ditgeqiooicc  31306  itgioocnicc  31323  dirkercncflem1  31431  dirkercncflem4  31434  fourierdlem10  31445  fourierdlem32  31467  fourierdlem62  31497  fourierdlem74  31509  fourierdlem75  31510  fourierdlem81  31516  fourierdlem82  31517  fourierdlem90  31525  fourierdlem92  31527  fourierdlem93  31528  fourierdlem104  31539  fourierdlem111  31546  sineq0ALT  32835