Theorem elioo2 11573

Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elioo2	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A (,) B ) <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) ) )

Proof of Theorem elioo2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval2 11565	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A (,) B ) = { x e. RR | ( A < x /\ x < B ) } )
2	1	eleq2d 2524	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A (,) B ) <-> C e. { x e. RR | ( A < x /\ x < B ) } ) )
3		breq2 4443	. . . . 5 |- ( x = C -> ( A < x <-> A < C ) )
4		breq1 4442	. . . . 5 |- ( x = C -> ( x < B <-> C < B ) )
5	3, 4	anbi12d 708	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( A < x /\ x < B ) <-> ( A < C /\ C < B ) ) )
6	5	elrab 3254	. . 3 |- ( C e. { x e. RR | ( A < x /\ x < B ) } <-> ( C e. RR /\ ( A < C /\ C < B ) ) )
7		3anass 975	. . 3 |- ( ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) <-> ( C e. RR /\ ( A < C /\ C < B ) ) )
8	6, 7	bitr4i 252	. 2 |- ( C e. { x e. RR | ( A < x /\ x < B ) } <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) )
9	2, 8	syl6bb 261	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A (,) B ) <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   {crab 2808   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   RRcr 9480   RR*cxr 9616   < clt 9617   (,)cioo 11532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-ioo 11536

This theorem is referenced by:  eliooord  11587  elioopnf  11621  elioomnf  11622  difreicc  11655  xov1plusxeqvd  11669  tanhbnd  13978  bl2ioo  21463  xrtgioo  21477  zcld  21484  iccntr  21492  icccmplem2  21494  reconnlem1  21497  reconnlem2  21498  icoopnst  21605  iocopnst  21606  ivthlem3  22031  ovolicc2lem1  22094  ovolicc2lem5  22098  ioombl1lem4  22137  mbfmax  22222  itg2monolem1  22323  itg2monolem3  22325  dvferm1lem  22551  dvferm2lem  22553  dvlip2  22562  dvivthlem1  22575  lhop1lem  22580  lhop  22583  dvcnvrelem1  22584  dvcnvre  22586  itgsubst  22616  sincosq1sgn  23057  sincosq2sgn  23058  sincosq3sgn  23059  sincosq4sgn  23060  coseq00topi  23061  tanabsge  23065  sinq12gt0  23066  sinq12ge0  23067  cosq14gt0  23069  sincos6thpi  23074  sineq0  23080  cosordlem  23084  tanord1  23090  tanord  23091  argregt0  23163  argimgt0  23165  argimlt0  23166  dvloglem  23197  logf1o2  23199  efopnlem2  23206  asinsinlem  23419  acoscos  23421  atanlogsublem  23443  atantan  23451  atanbndlem  23453  atanbnd  23454  atan1  23456  scvxcvx  23513  basellem1  23552  pntibndlem1  23972  pntibnd  23976  pntlemc  23978  padicabvf  24014  padicabvcxp  24015  dfrp2  27815  cnre2csqlem  28127  dvtanlem  30304  itg2gt0cn  30310  iblabsnclem  30318  dvasin  30343  areacirclem1  30347  areacirc  30352  ivthALT  30393  cvgdvgrat  31435  radcnvrat  31436  ioogtlb  31767  eliood  31770  eliooshift  31780  iooltub  31787  limciccioolb  31866  limcicciooub  31882  cncfioobdlem  31938  ditgeqiooicc  31998  dirkercncflem1  32124  dirkercncflem4  32127  fourierdlem10  32138  fourierdlem32  32160  fourierdlem62  32190  fourierdlem81  32209  fourierdlem82  32210  fourierdlem93  32221  fourierdlem104  32232  fourierdlem111  32239  sineq0ALT  34138