Theorem elioo2 10913

Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elioo2	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A (,) B ) <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) ) )

Proof of Theorem elioo2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval2 10905	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A (,) B ) = { x e. RR | ( A < x /\ x < B ) } )
2	1	eleq2d 2471	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A (,) B ) <-> C e. { x e. RR | ( A < x /\ x < B ) } ) )
3		breq2 4176	. . . . 5 |- ( x = C -> ( A < x <-> A < C ) )
4		breq1 4175	. . . . 5 |- ( x = C -> ( x < B <-> C < B ) )
5	3, 4	anbi12d 692	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( A < x /\ x < B ) <-> ( A < C /\ C < B ) ) )
6	5	elrab 3052	. . 3 |- ( C e. { x e. RR | ( A < x /\ x < B ) } <-> ( C e. RR /\ ( A < C /\ C < B ) ) )
7		3anass 940	. . 3 |- ( ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) <-> ( C e. RR /\ ( A < C /\ C < B ) ) )
8	6, 7	bitr4i 244	. 2 |- ( C e. { x e. RR | ( A < x /\ x < B ) } <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) )
9	2, 8	syl6bb 253	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A (,) B ) <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   {crab 2670   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   RRcr 8945   RR*cxr 9075   < clt 9076   (,)cioo 10872

This theorem is referenced by:  eliooord  10926  elioopnf  10954  elioomnf  10955  difreicc  10984  xov1plusxeqvd  10997  tanhbnd  12717  bl2ioo  18776  xrtgioo  18790  zcld  18797  iccntr  18805  icccmplem2  18807  reconnlem1  18810  reconnlem2  18811  icoopnst  18917  iocopnst  18918  ivthlem3  19303  ovolicc2lem1  19366  ovolicc2lem5  19370  ioombl1lem4  19408  mbfmax  19494  itg2monolem1  19595  itg2monolem3  19597  dvferm1lem  19821  dvferm2lem  19823  dvlip2  19832  dvivthlem1  19845  lhop1lem  19850  lhop  19853  dvcnvrelem1  19854  dvcnvre  19856  itgsubst  19886  sincosq1sgn  20359  sincosq2sgn  20360  sincosq3sgn  20361  sincosq4sgn  20362  coseq00topi  20363  tanabsge  20367  sinq12gt0  20368  sinq12ge0  20369  cosq14gt0  20371  sincos6thpi  20376  sineq0  20382  cosordlem  20386  tanord1  20392  tanord  20393  argregt0  20458  argimgt0  20460  argimlt0  20461  dvloglem  20492  logf1o2  20494  efopnlem2  20501  asinsinlem  20684  acoscos  20686  atanlogsublem  20708  atantan  20716  atanbndlem  20718  atanbnd  20719  atan1  20721  scvxcvx  20777  basellem1  20816  pntibndlem1  21236  pntibnd  21240  pntlemc  21242  padicabvf  21278  padicabvcxp  21279  cnre2csqlem  24261  itg2gt0cn  26159  iblabsnclem  26167  dvreasin  26179  areacirclem2  26181  areacirclem3  26182  areacirc  26187  ivthALT  26228

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-ioo 10876