Theorem elioo2 11341

Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elioo2	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A (,) B ) <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) ) )

Proof of Theorem elioo2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval2 11333	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A (,) B ) = { x e. RR | ( A < x /\ x < B ) } )
2	1	eleq2d 2510	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A (,) B ) <-> C e. { x e. RR | ( A < x /\ x < B ) } ) )
3		breq2 4296	. . . . 5 |- ( x = C -> ( A < x <-> A < C ) )
4		breq1 4295	. . . . 5 |- ( x = C -> ( x < B <-> C < B ) )
5	3, 4	anbi12d 710	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( A < x /\ x < B ) <-> ( A < C /\ C < B ) ) )
6	5	elrab 3117	. . 3 |- ( C e. { x e. RR | ( A < x /\ x < B ) } <-> ( C e. RR /\ ( A < C /\ C < B ) ) )
7		3anass 969	. . 3 |- ( ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) <-> ( C e. RR /\ ( A < C /\ C < B ) ) )
8	6, 7	bitr4i 252	. 2 |- ( C e. { x e. RR | ( A < x /\ x < B ) } <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) )
9	2, 8	syl6bb 261	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A (,) B ) <-> ( C e. RR /\ A < C /\ C < B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   {crab 2719   class class class wbr 4292  (class class class)co 6091   RRcr 9281   RR*cxr 9417   < clt 9418   (,)cioo 11300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-ioo 11304

This theorem is referenced by:  eliooord  11355  elioopnf  11383  elioomnf  11384  difreicc  11417  xov1plusxeqvd  11431  tanhbnd  13445  bl2ioo  20369  xrtgioo  20383  zcld  20390  iccntr  20398  icccmplem2  20400  reconnlem1  20403  reconnlem2  20404  icoopnst  20511  iocopnst  20512  ivthlem3  20937  ovolicc2lem1  21000  ovolicc2lem5  21004  ioombl1lem4  21042  mbfmax  21127  itg2monolem1  21228  itg2monolem3  21230  dvferm1lem  21456  dvferm2lem  21458  dvlip2  21467  dvivthlem1  21480  lhop1lem  21485  lhop  21488  dvcnvrelem1  21489  dvcnvre  21491  itgsubst  21521  sincosq1sgn  21960  sincosq2sgn  21961  sincosq3sgn  21962  sincosq4sgn  21963  coseq00topi  21964  tanabsge  21968  sinq12gt0  21969  sinq12ge0  21970  cosq14gt0  21972  sincos6thpi  21977  sineq0  21983  cosordlem  21987  tanord1  21993  tanord  21994  argregt0  22059  argimgt0  22061  argimlt0  22062  dvloglem  22093  logf1o2  22095  efopnlem2  22102  asinsinlem  22286  acoscos  22288  atanlogsublem  22310  atantan  22318  atanbndlem  22320  atanbnd  22321  atan1  22323  scvxcvx  22379  basellem1  22418  pntibndlem1  22838  pntibnd  22842  pntlemc  22844  padicabvf  22880  padicabvcxp  22881  cnre2csqlem  26340  dvtanlem  28441  itg2gt0cn  28447  iblabsnclem  28455  dvasin  28480  areacirclem1  28484  areacirc  28489  ivthALT  28530  sineq0ALT  31673