Theorem sincos6thpi 24071

Description: The sine and cosine of π / 6. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.) Replace OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 24-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sincos6thpi	⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Proof of Theorem sincos6thpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 10968	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		pire 24014	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
3		6re 10978	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
4		6pos 10996	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 6
5	3, 4	gt0ne0ii 10443	. . . . . 6 ⊢ 6 ≠ 0
6	2, 3, 5	redivcli 10671	. . . . 5 ⊢ (π / 6) ∈ ℝ
7	6	recni 9931	. . . 4 ⊢ (π / 6) ∈ ℂ
8		sincl 14695	. . . 4 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ)
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ
10		2ne0 10990	. . 3 ⊢ 2 ≠ 0
11		recoscl 14710	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 6) ∈ ℝ → (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ)
12	6, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ
13	12	recni 9931	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘(π / 6)) ∈ ℂ
14	1, 9, 13	mulassi 9928	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
15		sin2t 14746	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6)))))
16	7, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
17	14, 16	eqtr4i 2635	. . . . . 6 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
18		3cn 10972	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
19		3ne0 10992	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≠ 0
20	1, 18, 19	divcli 10646	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
21	18, 19	reccli 10634	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
22		df-3 10957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 = (2 + 1)
23	22	oveq1i 6559	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
24	18, 19	dividi 10637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 / 3) = 1
25		ax-1cn 9873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
26	1, 25, 18, 19	divdiri 10661	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
27	23, 24, 26	3eqtr3ri 2641	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
28		sincosq1eq 24068	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 / 3) ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ ∧ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1) → (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2))))
29	20, 21, 27, 28	mp3an 1416	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2)))
30		picn 24015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
31	1, 18, 30, 1, 19, 10	divmuldivi 10664	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 / 3) · (π / 2)) = ((2 · π) / (3 · 2))
32		3t2e6 11056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · 2) = 6
33	32	oveq2i 6560	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · π) / (3 · 2)) = ((2 · π) / 6)
34		6cn 10979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℂ
35	1, 30, 34, 5	divassi 10660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · π) / 6) = (2 · (π / 6))
36	31, 33, 35	3eqtri 2636	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 / 3) · (π / 2)) = (2 · (π / 6))
37	36	fveq2i 6106	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
38	29, 37	eqtr3i 2634	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
39	25, 18, 30, 1, 19, 10	divmuldivi 10664	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3) · (π / 2)) = ((1 · π) / (3 · 2))
40	30	mulid2i 9922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · π) = π
41	40, 32	oveq12i 6561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · π) / (3 · 2)) = (π / 6)
42	39, 41	eqtri 2632	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3) · (π / 2)) = (π / 6)
43	42	fveq2i 6106	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (cos‘(π / 6))
44	38, 43	eqtr3i 2634	. . . . . 6 ⊢ (sin‘(2 · (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
45	17, 44	eqtri 2632	. . . . 5 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
46	13	mulid2i 9922	. . . . 5 ⊢ (1 · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
47	45, 46	eqtr4i 2635	. . . 4 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6)))
48	1, 9	mulcli 9924	. . . . 5 ⊢ (2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ
49		pipos 24016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < π
50	2, 3, 49, 4	divgt0ii 10820	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < (π / 6)
51		2lt6 11084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 6
52		2re 10967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
53		2pos 10989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
54	52, 53	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
55	3, 4	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)
56	2, 49	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
57		ltdiv2 10788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2)))
58	54, 55, 56, 57	mp3an 1416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2))
59	51, 58	mpbi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 6) < (π / 2)
60		0re 9919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
61		halfpire 24020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
62		rexr 9964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
63		rexr 9964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
64		elioo2 12087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
65	62, 63, 64	syl2an 493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
66	60, 61, 65	mp2an 704	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2)))
67	6, 50, 59, 66	mpbir3an 1237	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 6) ∈ (0(,)(π / 2))
68		sincosq1sgn 24054	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6))))
69	67, 68	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6)))
70	69	simpri 477	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (cos‘(π / 6))
71	12, 70	gt0ne0ii 10443	. . . . . 6 ⊢ (cos‘(π / 6)) ≠ 0
72	13, 71	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) ≠ 0)
73		mulcan2 10544	. . . . 5 ⊢ (((2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) ≠ 0)) → (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1))
74	48, 25, 72, 73	mp3an 1416	. . . 4 ⊢ (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1)
75	47, 74	mpbi 219	. . 3 ⊢ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1
76	1, 9, 10, 75	mvllmuli 10737	. 2 ⊢ (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
77		3re 10971	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
78		3pos 10991	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
79	77, 78	sqrtpclii 13970	. . . . . . 7 ⊢ (√‘3) ∈ ℝ
80	79	recni 9931	. . . . . 6 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
81	80, 1, 10	sqdivi 12810	. . . . 5 ⊢ (((√‘3) / 2)↑2) = (((√‘3)↑2) / (2↑2))
82	60, 77, 78	ltleii 10039	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 3
83	77	sqsqrti 13963	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 3 → ((√‘3)↑2) = 3)
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((√‘3)↑2) = 3
85		sq2 12822	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) = 4
86	84, 85	oveq12i 6561	. . . . 5 ⊢ (((√‘3)↑2) / (2↑2)) = (3 / 4)
87	81, 86	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ (((√‘3) / 2)↑2) = (3 / 4)
88	87	fveq2i 6106	. . 3 ⊢ (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = (√‘(3 / 4))
89	77	sqrtge0i 13964	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 3 → 0 ≤ (√‘3))
90	82, 89	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (√‘3)
91	79, 52	divge0i 10812	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ (√‘3) ∧ 0 < 2) → 0 ≤ ((√‘3) / 2))
92	90, 53, 91	mp2an 704	. . . 4 ⊢ 0 ≤ ((√‘3) / 2)
93	79, 52, 10	redivcli 10671	. . . . 5 ⊢ ((√‘3) / 2) ∈ ℝ
94	93	sqrtsqi 13962	. . . 4 ⊢ (0 ≤ ((√‘3) / 2) → (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2))
95	92, 94	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2)
96		4cn 10975	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
97		4ne0 10994	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ≠ 0
98	96, 97	dividi 10637	. . . . . . 7 ⊢ (4 / 4) = 1
99	98	oveq1i 6559	. . . . . 6 ⊢ ((4 / 4) − (1 / 4)) = (1 − (1 / 4))
100	96, 97	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
101		divsubdir 10600	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4)))
102	96, 25, 100, 101	mp3an 1416	. . . . . . 7 ⊢ ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4))
103		3p1e4 11030	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
104	96, 25, 18	subadd2i 10248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 − 1) = 3 ↔ (3 + 1) = 4)
105	103, 104	mpbir 220	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 1) = 3
106	105	oveq1i 6559	. . . . . . 7 ⊢ ((4 − 1) / 4) = (3 / 4)
107	102, 106	eqtr3i 2634	. . . . . 6 ⊢ ((4 / 4) − (1 / 4)) = (3 / 4)
108	96, 97	reccli 10634	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 4) ∈ ℂ
109	13	sqcli 12806	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘(π / 6))↑2) ∈ ℂ
110	76	oveq1i 6559	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sin‘(π / 6))↑2) = ((1 / 2)↑2)
111	1, 10	sqrecii 12808	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2)↑2) = (1 / (2↑2))
112	85	oveq2i 6560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / (2↑2)) = (1 / 4)
113	110, 111, 112	3eqtri 2636	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sin‘(π / 6))↑2) = (1 / 4)
114	113	oveq1i 6559	. . . . . . . 8 ⊢ (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2))
115		sincossq 14745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1)
116	7, 115	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
117	114, 116	eqtr3i 2634	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
118	25, 108, 109, 117	subaddrii 10249	. . . . . 6 ⊢ (1 − (1 / 4)) = ((cos‘(π / 6))↑2)
119	99, 107, 118	3eqtr3ri 2641	. . . . 5 ⊢ ((cos‘(π / 6))↑2) = (3 / 4)
120	119	fveq2i 6106	. . . 4 ⊢ (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (√‘(3 / 4))
121	60, 12, 70	ltleii 10039	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (cos‘(π / 6))
122	12	sqrtsqi 13962	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ (cos‘(π / 6)) → (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6)))
123	121, 122	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6))
124	120, 123	eqtr3i 2634	. . 3 ⊢ (√‘(3 / 4)) = (cos‘(π / 6))
125	88, 95, 124	3eqtr3ri 2641	. 2 ⊢ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
126	76, 125	pm3.2i 470	1 ⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  6c6 10951  (,)cioo 12046  ↑cexp 12722  √csqrt 13821  sincsin 14633  cosccos 14634  πcpi 14636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437

This theorem is referenced by:  sincos3rdpi  24072  1cubrlem  24368  pigt3  32572